Задача 52865 В июле 2020 года планируется взять...
Условие
- каждый январь долг возрастает на 35% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
Определите сумму кредита, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на 78 030 рублей больше суммы, взятой в кредит.
Решение
В январе 2021 года начислены проценты: 0,35*S руб.
Сумма долга составила S + 0,35S=1,35*S руб
Пусть ежегодные [i] равные[/i] выплаты равны А руб.
[b](1,35*S- A )[/b] руб. -[i] остаток[/i] на конец первого года
В январе 2022 года начислены проценты [i]на остаток[/i]:
0,35*(1,35*S-А) руб.
Сумма долга составила (1,35*S- A )+0,35*(1,35*S-А)=
[b]1,35*(1,35*S-А) руб[/b]
(1,35*(1,35*S- A ) - А ) =(1,35^2*S-1,35*A-A) руб.- остаток на конец второго года
Аналогично получаем:
1,35*(1,35^2*S-1,35*A-A) -А= (1,35^3*S-1,35^2*A-1,35*A-A) руб. - остаток на конец третьего года, который по условию равен 0 ( кредит выплачен)
Уравнение:
[b]1,35^3*S-1,35^2*A-1,35*A-A=0[/b]
Условие "общая сумма выплат на 78 030 рублей больше суммы, взятой в кредит" позволяет составить второе уравнение:
[b]3А=S+78030[/b]
Решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными S и А:
[m]\left\{\begin{matrix} 1,35^3\cdot S-1,35^2\cdot A-1,35\cdot A-A=0\\ 3A=S+78030 \end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix} 1,35^3\cdot S-(1,35^2+1,35+1)\cdot (\frac{S}{3}+26010)=0\\ A=\frac{S}{3}+26010 \end{matrix}\right.[/m]
Удобнее считать в обычных дробях:
[m]1,35=\frac{135}{100}=\frac{27}{20}[/m]
Решаем первое уравнение:
[m] \frac{27^3}{20^3}\cdot S-(\frac{27^2}{20^2}+\frac{27}{20}+1)\cdot (\frac{S}{3}+26010)=0[/m]
[m] \frac{27^3}{20^3}\cdot S-(\frac{27^2}{20^2}+\frac{27}{20}+1)\cdot \frac{S}{3}=(\frac{27^2}{20^2}+\frac{27}{20}+1)\cdot 26010[/m]
[m] S\cdot (\frac{27^3}{20^3}-\frac{1669}{400}\cdot \frac{1}{3})=\frac{1669}{400}\cdot 26010[/m]
[m] S\cdot \frac{59049-33380}{20^3\cdot 3}=\frac{1669}{400}\cdot 26010[/m]
[m] S\cdot 25669=1669\cdot 60\cdot 26010[/m]
[b]Для случая 30% :[/b]
Решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными S и А:
[m]\left\{\begin{matrix} 1,3^3\cdot S-1,3^2\cdot A-1,3\cdot A-A=0\\ 3A=S+78030 \end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix} 1,3^3\cdot S-(1,3^2+1,3+1)\cdot (\frac{S}{3}+26010)=0\\ A=\frac{S}{3}+26010 \end{matrix}\right.[/m]
Решаем первое уравнение:
[m]2,197\cdot S-3,99\cdot\frac{S}{3}=3,99\cdot 26010[/m]
[m](2,197-1,33)\cdot S=3,99\cdot 26010[/m]
[m]0,867\cdot S=3,99\cdot 867\cdot 30[/m]
[m]S=\frac{3,99\cdot 30\cdot 0,867\cdot 1000}{0,867}=119 700[/m] руб.
Все решения
