Задача 52865 В июле 2020 года планируется взять...

slava191

12 июля 2020 г. в 22:50

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 35% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

Определите сумму кредита, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на 78 030 рублей больше суммы, взятой в кредит.

sova

12 июля 2020 г. в 23:25

★

Пусть сумма кредита равна S руб.

В январе 2021 года начислены проценты: 0,35·S руб.
Сумма долга составила S + 0,35S=1,35·S руб
Пусть ежегодные равные выплаты равны А руб.

(1,35·S– A ) руб. – остаток на конец первого года

В январе 2022 года начислены проценты на остаток:
0,35·(1,35·S–А) руб.

Сумма долга составила (1,35·S– A )+0,35·(1,35·S–А)=
1,35·(1,35·S–А) руб

(1,35·(1,35·S– A ) – А ) =(1,35²·S–1,35·A–A) руб.– остаток на конец второго года
Аналогично получаем:

1,35·(1,35²·S–1,35·A–A) –А= (1,35³·S–1,35²·A–1,35·A–A) руб. – остаток на конец третьего года, который по условию равен 0 ( кредит выплачен)

Уравнение:
1,35³·S–1,35²·A–1,35·A–A=0

Условие "общая сумма выплат на 78 030 рублей больше суммы, взятой в кредит" позволяет составить второе уравнение:

3А=S+78030

Решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными S и А:

[m]\left\{\begin{matrix} 1,35^3\cdot S-1,35^2\cdot A-1,35\cdot A-A=0\\ 3A=S+78030 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} 1,35^3\cdot S-(1,35^2+1,35+1)\cdot (\frac{S}{3}+26010)=0\\ A=\frac{S}{3}+26010 \end{matrix}\right.[/m]

Удобнее считать в обычных дробях:

[m]1,35=\frac{135}{100}=\frac{27}{20}[/m]

Решаем первое уравнение:

[m] \frac{27^3}{20^3}\cdot S-(\frac{27^2}{20^2}+\frac{27}{20}+1)\cdot (\frac{S}{3}+26010)=0[/m]

[m] \frac{27^3}{20^3}\cdot S-(\frac{27^2}{20^2}+\frac{27}{20}+1)\cdot \frac{S}{3}=(\frac{27^2}{20^2}+\frac{27}{20}+1)\cdot 26010[/m]

[m] S\cdot (\frac{27^3}{20^3}-\frac{1669}{400}\cdot \frac{1}{3})=\frac{1669}{400}\cdot 26010[/m]

[m] S\cdot \frac{59049-33380}{20^3\cdot 3}=\frac{1669}{400}\cdot 26010[/m]

[m] S\cdot 25669=1669\cdot 60\cdot 26010[/m]


Для случая 30% :



Решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными S и А:

[m]\left\{\begin{matrix} 1,3^3\cdot S-1,3^2\cdot A-1,3\cdot A-A=0\\ 3A=S+78030 \end{matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin{matrix} 1,3^3\cdot S-(1,3^2+1,3+1)\cdot (\frac{S}{3}+26010)=0\\ A=\frac{S}{3}+26010 \end{matrix}\right.[/m]

Решаем первое уравнение:

[m]2,197\cdot S-3,99\cdot\frac{S}{3}=3,99\cdot 26010[/m]

[m](2,197-1,33)\cdot S=3,99\cdot 26010[/m]

[m]0,867\cdot S=3,99\cdot 867\cdot 30[/m]

[m]S=\frac{3,99\cdot 30\cdot 0,867\cdot 1000}{0,867}=119 700[/m] руб.