Задача 39583 ...

danil_t

18 сентября 2019 г. в 09:10

Задание 2. Исследование функции с помощью производной.

Для заданной функции провести исследование: точки минимума, максимума, точки перегиба; интервалы возрастания, убывания функции; интервалы выпуклости и вогнутости функции. Построить график функции. На графике функции указать особые точки – точки экстремума, точки перегиба. Построение выполнить схематично на масштабно–координатной бумаге.

y = x³ + 9x² + 15x – 14

sova

18 сентября 2019 г. в 09:38

★

y=x³+9x²+15х–14

Область определения (– ∞ ;+ ∞ )

Функция непрерывна, так как является многочленом

y`=3x²+18x+15

y`=0
3x²+18x+15=0

x²+6x+5=0

D=(6)²–4·5=36–20=16

x=[m]\frac{-6\pm4}{2}[/m]

x₁= – 5 ; x₂= –1

Расставляем знак производной ( производная y`=3x²+18x+15
является квадратичной функцией, графиком этой функции является парабола, ветви вверх, поэтому на (–5;–1) производная отрицательна, на двух остальных – положительна):

__+__ (–5) __–___ (–1) __+__

y`>0 на (– ∞ ;–5) и на (–1;+ ∞ ), значит функция возрастает

y`< 0 на (–5 ;–1), значит функция убывает возрастает

х=–5 – точка максимума, производная меняет знак с + на –

у(–5 )=(–5)³+9·(–5)²+15·(–5)–14=25·(–5)+9·25–3·25–14=

=25·(–5+9–3)–14=25–14=11

(–5;11) – точка максимума

х=–1 – точка минимума, производная меняет знак с – на +

y(–1)=(–1)³+9·(–1)²+15·(–1)–14=–21

(–1; –21) – точка минимума


График на рис. См. масштаб 1 кл = 2 ед

y``=6x+18

y``=0

6x+18=0

x= – 3– точка перегиба, вторая производная меняет знак с – на +

Функция выпукла вверх на ( – ∞ ;–3 ) и выпукла вниз на (–3;+ ∞ )

y(–3)=(–3)³+9·(–3)²+15·(–3)–14=–3·9+9·9–9·5–14=

=9·(–3+9–5)–14=9–14=–5

(–3;–5) – точка перегиба