Задача 20487 Решите уравнение log2(sin3х-sinx+2) =...
Условие
Укажите решения уравнения, принадлежащие отрезку [-Pi; Pi/2]
Решение
{sin3x-sinx+2 > 0
{sin2x > 0 ⇒ x ∈ (Pik;(Pi/2)+Pik), k ∈ Z ( углы в 1-й и 3-й четв)
Так как
1=log_(2)2
и
2log_(2)sinx=log_(2)sin^2x
уравнение принимает вид
log_(2)(sin3x-sinx+2)=log_(2)2sin^2x
sin3x-sinx+2=2sin^22x
Так как sin^22x=1-cos^22x и sin3x-sinx=2sinxcos2x
2sinxcos2x+2=2*(1-cos^22x)
2sinxcos2x+2cos^22x=0
2cos2x*(sinx+cos2x)=0
cos2x=0 или sinx+cos2x=0
cos2x=0 ⇒ 2x=(Pi/2)+Pik, k ∈ Z
⇒ x=(Pi/4)+(Pi/2)*k, k ∈ Z
Учитывая условие х x ∈ (Pik;(Pi/2)+Pik), k ∈ Z ( углы в 1-й и 3-й четв) получаем
о т в е т (Pi/4)+Pi*k, k ∈ Z
sinx+ cos2x=0
sinx+1-2sin^2x=0
2sin^2x-sinx-1=0
D=9
sinx=-1/2 или sinx=1
x=(-π/6)+2πn, n∈Z (4-ая четверть) или sinx=(-5π/6)+2πn, k∈Z
или
х=(π/2)+2πm, m∈Z (не входит в ОДЗ)
О т в е т. (Pi/4)+Pi*k, (-5π/6)+2πn, k∈Z , k, n ∈ Z
Указанному промежутку принадлежат корни
х=(-3Pi/4)
х=(-5Pi/6)
х=(Pi/4)