Задача 20487 Решите уравнение log2(sin3х-sinx+2) =...

slava191

12 июня 2017 г. в 00:00

Решите уравнение log₂(sin3х–sinx+2) = 1+2log₂(sin2x).

Укажите решения уравнения, принадлежащие отрезку [–π; π/2]

SOVA

12 июня 2017 г. в 00:00

★

ОДЗ:
{sin3x–sinx+2 > 0
{sin2x > 0 ⇒ x ∈ (πk;(π/2)+πk), k ∈ Z ( углы в 1–й и 3–й четв)

Так как
1=log₂2
и
2log₂sinx=log₂sin²x
уравнение принимает вид
log₂(sin3x–sinx+2)=log₂2sin²x

sin3x–sinx+2=2sin²2x

Так как sin²2x=1–cos²2x и sin3x–sinx=2sinxcos2x
2sinxcos2x+2=2·(1–cos²2x)

2sinxcos2x+2cos²2x=0
2cos2x·(sinx+cos2x)=0
cos2x=0 или sinx+cos2x=0

cos2x=0 ⇒ 2x=(π/2)+πk, k ∈ Z
⇒ x=(π/4)+(π/2)·k, k ∈ Z
Учитывая условие х x ∈ (πk;(π/2)+πk), k ∈ Z ( углы в 1–й и 3–й четв) получаем
о т в е т (π/4)+π·k, k ∈ Z

sinx+ cos2x=0
sinx+1–2sin²x=0
2sin²x–sinx–1=0
D=9
sinx=–1/2 или sinx=1
x=(–π/6)+2πn, n∈Z (4–ая четверть) или sinx=(–5π/6)+2πn, k∈Z
или
х=(π/2)+2πm, m∈Z (не входит в ОДЗ)

О т в е т. (π/4)+π·k, (–5π/6)+2πn, k∈Z , k, n ∈ Z
Указанному промежутку принадлежат корни
х=(–3π/4)
х=(–5π/6)
х=(π/4)