Задача 34969 ...

top20

26 марта 2019 г. в 19:25

∫ dx/3+sinx+cosx

sova

26 марта 2019 г. в 21:58

Универсальная подстановка
tg(x/2)=t
x/2=arctgt
x=2arctgt
dx=2/(1+t²)

sinx=2t/(1+t²)
cosx=(1–t²)/(1+t²)

3 + sinx + cosx = 3 + 2t/(1+t²) + (1–t²)/(1+t²)

3 + sinx + cosx = (3+3t²+2t+1–t²)/(1+t²)


∫ dx/(3 + sinx + cosx)= ∫ 2dt/(2t²+2t+4)=

= ∫ dt/(t²+t+2)= ∫ dt/((t+(1/2))²+(7/4))=

=(1/√7/4)·arctg(t+(1/2))/√7/2+C=

=(2/√7)· arctg((2t+1)/√7) + C=

= (2/√7) · arctg ((2tg(x/2)+1)/√7)+C