Задача 27315 ...
Условие
R={(x,y,z) | 2y < =x^(2)+y^(2) < =4y ; 0 < =z < =1+y;}
Решение :
1) График - Главная проблема;
2) S=S_(1)+S_(2)+...+S_(сумма всех сторон); - Обычно находиться просто, если есть график.
3) V(t)=∫∫_(по основанию фиг на рис) (тело ограничено сверху уравнением )dx dy;
* z=тело ограничено сверху уравнением ;
Решение
Область D - ограничена двумя кругами
внешний
x^2+y^2=4y ⇒ x^2+(y^2-4y+4)=4 ⇒ x^2+(y-2)^2=4
внутренний
x^2+y^2=2y ⇒ x^2+(y^2-2y+1)=1 ⇒ x^2+(y-1)^2=1
Переходим к полярным координатам
x=rcos phi
y=rsinx phi
x^2+y^2=2y в полярных координатах имеет вид
r^2=2rsin phi
r=2sin phi
x^2+y^2=4y
r=4sin phi
0 меньше или равно phi меньше или равно Pi
2sin phi меньше или равно r меньше или равно 4sin phi
= ∫^(Pi) _(0)d phi ∫^(4sin phi ) _(2sin phi )(1+rsin phi )dr=
=∫^(Pi) _(0)(r+(r^2/2)*sin phi)|^(4sin phi ) _(2sin phi )dphi=
=∫^(Pi) _(0)((4sin phi-2sin phi)+(sin phi/2)*(16sin^2phi-4sin^2phi))dphi=
=∫^(Pi) _(0)(2sin phi+(sin phi/2)*(12-12cos^2phi))dphi=
=(-2cos phi-6sin phi +6 (cos^3phi)/3)|^(Pi) _(0)=
=8+8+6((-1/3)-(1/3))=12