Составляем характеристическое уравнение:
k^2-2k=0
k_(1)=0; k_(2)=2- корни действительные различные
Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)e^(0)+C_(2)e^(2x)
частное решение неоднородного
x=0 - корень характеристического уравнения кратности x
y_(част)=(Ax+B)*x - линейная функция умножается на х в первой степени.
(кратность корня 1)
Находим производную первого, второго порядка
y_(част)=Ax^2+Bx
y`_(част)=2Ax+B
y``_(част)=2А
и подставляем в данное уравнение:
2A-2*(2Ax+B)=5x+3
-4Ах+(2А-2В)=5х+3
-4А=5
2А-2В=3
А=-5/4
B= - 11/4
y_(част)=(-5/4)x^2-(11/4)x
О т в е т. y=y_(одн.)+y_(част)=
= [b]С_(1)e^(0)+C_(2)e^(2x)+(-5/4)x^2-(11/4)x[/b]