Задача 20327 Решите уравнение log2(sin2x – sin4x + 2)...
Условие
Решение
{cosx > 0; т.е х в 4-й или в 1-й четверти
{sin2x-sin4x+2 > 0
Упрощаем уравнение.
Так как
1=log_(2)2;
2log_(2)cosx=log_(2)cos^2x
1 + 2log_(2)(cos x)=log_(2)2+log_(2)cos^2x=
=log_(2)2cos^2x
Уравнение принимает вид:
log_(2)(sin2x – sin4x + 2) = log_(2) 2cos^2x.
Применяем свойство монотонности логарифмической функции: если значения функции равны, то и аргументы равны.
sin2x-sin4x+2=2cos^2x
cos^2x > 0 и cos^2x > 0, значит
sin2x-sin4x+2 > 0, что удовл. второму неравенству системы ОДЗ.
Так как
сos^2x=(1+cos2x)/2, то
sin2x-2sin2x*cos2x+2=1+cos2x
sin2x-2sin2x*cos2x+1-cos2x=0
Замена переменной
sin2x-cos2x=t
Возводим в квадрат
sin^2x-2sin2x*cos2x+cos^2x=t^2
-2sin2x*cos2x=t^2-1
Уравнение принимает вид:
t+t^2=0
t(t+1)=0
t=0 или t=-1
Обратная замена
sin2x-cos2x=0 или sin2x-cos2x=-1
Решаем первое уравнение:
sin2x-cos2x=0 - однородное уравнение первого порядка, делим на cos2x.
tg2x=1
2x=(π/4)+πm, m∈Z
x=(π/8)+(π/2)m, m∈Z
С учетом cosх > 0, т.е х в 4-й или в 1-й четверти , получаем ответ
х=(π/8)+2πm, m∈Z и х=(-3π/8)+2πm, m∈Z
Решаем второе уравнение
sin2x-cos2x=-1
2 sinx*cosx-cos^2x+sin^2x=-cos^2x-sin^2x;
2sinx*cosx + 2sin^2x=0
2sinx*(cosx+sinx)=0
sinx=0 или cosx+sinx=0⇒
х=πk, k∈Z или tgх=-1, x=(-π/4)+πn, n∈Z
С учетом cosх > 0, т.е х в 4-й или в 1-й четверти ,
х=2πk, k∈Z
х=(-π/4)+2πn, n∈Z
О т в е т. 2πk ;(π/8)+2πm;(-3π/8)+2πm;(-π/4)+2πn, k, m, n∈Z
Указанному промежутку принадлежат 3 корня
(-π/4); 0; (π/8)