Задача 37702 Решите,пожалуйста,хотя бы часть. Первое...

uuyfcnz123

28 мая 2019 г. в 18:50

Решите,пожалуйста,хотя бы часть.
Первое изображение: 1 столб(1 и 3 пример) решать с заменой переменной,2 столб(2 и 4 пример) решать по частям
Второе изображение(5.12) просто вычислить интегралы во всех столбцах

sova

28 мая 2019 г. в 21:47

★

1.
Формулы тригонометрии:

1+ctg²x=1/sin²x ⇒ sin²x=1/·1+ctg²x)

1+sin²x=1+(1/(1+ctg²x))=(1+ctg²x+1)/ctg²x=(2+ctg²x)/ctg²x

1/(1+sin²x)=ctg²x/(2+ctg²x)

Замена
ctgx=t ⇒ x= arcctgt

dx=–1/(1+t²)

Неопределенный интеграл

∫ dx/(1+sin²x)= –∫ t²dt/(2+t²)·(1+t²) – это интеграл от дроби.
Дробь нужно разложить на две дроби со знаменателями
(2+t²) и (1+t²)

– t²/(2+t²)·(1+t²)= 1/(2+t²) – 1/(1+t²)

∫ dx/(1+sin²x)= –∫ t²dt/(2+t²)·(1+t²) =

=∫dt/(2+t²)–∫dt/(1+t²)=

=(1/√2)(– arcctgt/√2) +arcctgt=

(1/√2)(– arcctg(x/√2)) +x


По формуле Ньютона–Лейбница

∫ ^π/2_π/4dx/(1+sin²x)= ((1/√2)(– arcctg(x/√2)) +x)|^π/2_π/4


3.

lnx=t
dx/x=dt

Подведение под дифференциал избавит от смены пределов
интегрирования


∫ ⁸₃d(lnx)/√1–(lnx)²=

=arcsin(lnx)|⁸₃= arcsin(ln8)–arcsin(ln3)


4.

u=arccosx
dv=xdx
du=–1/(√1–x²

v=x²/2

=((x²·arccosx)/2)|^π/2₀ – (1/2)· ∫ ^π/2₀ (–x²dx)/√1–x²=

=((x²·arccosx)/2)|^π/2₀ – (1/2)· ∫ ^π/2₀ (1–x²+1)dx/√1–x²=

((x²·arccosx)/2)|^π/2₀ – (1/2)· ∫ ^π/2₀ √1–x²dx
– (1/2)∫ ^π/2₀dx/√1–x²=


2.
на [0; e–1]

x+1 >0
|x+1|=x+1

u=ln(x+1)
du=dx/(x+1)

dv=dx

v=x

=х·ln(x+1)|^e–1₀ – ∫^e–1₀ xdx/(x+1)=


=х·ln(x+1)|^e–1₀ – ∫^e–1₀ (x+1–1)dx/(x+1)=

=х·ln(x+1)|^e–1₀ – ∫^e–1₀ (x+1)dx/(x+1)+ ∫^e–1₀ dx/(x+1)=


=х·ln(x+1)|^e–1₀ – ∫^e–1₀dx+ ∫^e–1₀ dx/(x+1)=

=х·ln(x+1)|^e–1₀ – x|^e–1₀ +ln|x+1||^e–1₀=