Задача 51952 ...
Условие
математика
608
Решение
★
[m]\frac{3x^3+1}{x^2-1}=\frac{3x^3-3x+3x+1}{x^2-1}=\frac{3x(x^2-1)+(3x+1)}{x^2-1}=\frac{3x(x^2-1)}{x^2-1}+\frac{3x+1}{x^2-1}=3x+\frac{3x+1}{x^2-1}[/m]
Разложим [i]правильную дробь[/i] [m]\frac{3x+1}{x^2-1}[/m] на [i]простейшие[/i] методом неопределенных коэффициентов:
x^2-1=(x-1)(x+1)
[m]\frac{3x+1}{x^2-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}[/m]
Приводим дроби справа к общему знаменателю и приравниваем числители:
3x+1=A(x+1)+B(x-1)
Применяем[i] метод частных значений:[/i]
При x=1
3*1+1=2A ⇒ A=2
При x=-1
3*(-1)+1=-2B ⇒ B=1
[m] ∫ \frac{3x^3+1}{x^2-1}= ∫ (3x+\frac{2}{x-1}+\frac{1}{x+1})dx=3\frac{x^2}{2}+2ln|x-1|+ln|x+1|+C[/m]
