Задача 12471 Полное исследование графика:...

Cool.kisyla

22 декабря 2016 г.

Полное исследование графика: y=(17–x²)/(4x–5)

1) найти область определения функции; выяснить, является ли функция четной (нечётной),периодической
2) найти точки пересечения графика с осями координат и промежутки, на которых f(x) > 0 и f(x) < 0
3) найти асимптоты графика функции
4) вычислить f'(x), найти промежутки возрастания (убывания) функции и её экстремумы
5) вычислить f''(x), определить направления выпуклости и найти точки перегиба
6) изобразить график функции

SOVA

22 декабря 2016 г.

★

1) область определения
4х–5≠0
х≠5/4.
Функция не является ни четной, ни нечетной.
у(–х)=(17–х²)/(–4x–5)
y(–x)≠y(x)
y(–x)≠–y(x)
Функция не является периодической.
2)Точки пересечения графика с осями координат:
с осью Ох:
у=0
17–x²=0
x=–√17 или х=√17
f(x) > 0 на (–∞;–√17)и (√17;+∞)
f(x) < 0 на (–√17;√17).
3) x=5/4 –вертикальная асимптота.
lim_x→(5/4)+0f(x)=+∞
lim_{x→(5/4)–0}f(x)=–∞
Горизонатльных асимптот нет
lim_x→+∞f(x)=–∞;
lim_x→–∞f(x)=+∞.
Находим наклонную асимптоту.
k=lim_x→∞f(x)/x=lim_x→∞(17–x²)/(4x²–5x)=–1/4
b==lim_x→∞(f(x)–kx)=lim_x→∞(17–(5x/4))/(4x–5)=∞
4)f`(x)=(–2x·(4x–5)–4·(17–x<sup>2</sup>))/(4x–5)<sup>2</sup>=
=(10x–4x<sup>2</sup>–68)/(4x–5)<sup>2</sup>.
y`=0
10x–4x²–68=0
уравнение не имеет корней, D < 0
Точек экстремума нет.
5)f``(x)=((10x–4x<sup>2</sup>–68)/(4x–5)<sup>2</sup>)=
=((10–8x)·(4x–5)<sup>2</sup>–2(4x–5)·4·(10x–4x<sup>2</sup>–68))/(4x–5)<sup>4</sup>=
=(40x–32x<sup>2</sup>–50+40x–80x+32x<sup>2</sup>+544)/(4x–5)<sup>3</sup>=
=+494/(4x–5)<sup>3</sup>.
На (–∞;(5/4)) f``(x) < 0, функция выпукла вверх.
на((5/4);+∞)f``(x) > 0, функция выпукла вниз.
Точек перегиба нет.