Задача 30373 Прошуу решите, пожалуйста...
Условие
Решение
lim_(x→2)(2x^2-3x-2)/(x-2)=(2*2^2-3*3-2)/(2-2)=0/0 - неопределенность
раскладываем числитель на множители:
ax^2+bx+c=a*(x-x_(1))*(x-x_(2))
=lim_(x→2)((x-2)(2x+1))/(x-2)=
=lim_(x→2)(2x+1) = 2*2+1 = 5
б)
lim_(x→ ∞)(4x^3-2x)/(5-x^2+1) =∞ / ∞
(Неопределенность ∞ / ∞ )
Выносим за скобки х в наивысшей степени из числителя и знаменателя, чтобы получить числа в числителе 4x^3/x^3=4
-x^2/x^2=-1
остальные слагаемые 2/x^2; (5/x) и (1/x^2) - бесконечно малые, т.е
→0, как обратные к бесконечно большим ( →∞)
lim_(x→ ∞)(x^3*(4 - (2/x^2)))/(x^2*(-1+(5/x)+(1/x^2)))=
=lim_(x→ ∞)(x(4 - (2/x^2)))/(-1+(5/x)+(1/x^2))= ∞ *4/(-1)= ∞
в)
lim_(x→ -1) (sqrt(3-x)-2)/(x+1)=(sqrt(3-(-1))-2/(-1+1)=0/0
неопределенность 0/0
умножаем и числитель и знаменатель на (sqrt(3-x)+2)
Применяем формулу
(a-b)*(a+b)=a^2-b^2
(sqrt(3 - x) - 2)(sqrt(3 - x) + 2)= (sqrt(3-x))^2 - 2^2 =3 - x - 4= -x - 1
lim_(x→ -1) ((sqrt(3 - x) - 2)*(sqrt(3 - x) + 2))/((x+1)*(sqrt(3-x)+2))=
=lim_(x→ -1) (3 - х - 4)/((x+1)*(sqrt(3-x)+2))=
=lim_(x→ -1) ( - х - 1)/((x+1)*(sqrt(3-x)+2))= -1/sqrt(3-(-1))+2)=-1/4
г)
Так как по первому замечательному пределу:
lim_(x→ 0) arcsin [b]6x[/b]/[b]6x[/b]=1
lim_(x→ 0) (arcsin 6x)/(3x) = lim_(x→ 0) arcsin [b]6x[/b]/((1/2)*[b]6x[/b])=1/(1/2)=2
д)
Так как по второму замечательному пределу ( cм следствия из второго замечательного предела):
lim_(x→ ∞) (1+k/x)^x=e^(k)
((3x-1)/(3x+5))^(x+1)=((3x-1)/(3x+5))^(x)*((3x-1)/(3x+5))^(1)
Предел произведения равен произведению пределов.
Второй предел равен 1.
Первый предел - неопределенность 1^(∞)
Применяем второй замечательный предел
Делим и числитель и знаменатель дроби (3x-1)/(3x+5) на 3х
(1-(1/3x))/(1+(5/3x))
lim_(x→ ∞) ((1-(1/3x))/(1+(5/3x)))^x=
=lim_(x→ ∞) ((1-(1/3x))^x/(1+(5/3x)))^x=
=lim_(x→ ∞) (((1-(1/3x))^3x)^1/3/((1+(5/3x)))^3x)^(1/3)=
=(e^(-1))^(1/3)/(e^5)^(1/3)=e^(-2)=1/e^2