Задача 41249 xy'+2sqrtxy=y решить уравнение ...

masha18

2019-11-05 18:56:50

xy'+2sqrtxy=y решить уравнение

sova

2019-11-06 11:01:38

Делим на х:
y`+2*[m]\frac{\sqrt{xy}}{x}=\frac{y}{x}[/m]
y`+2*[m]\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{y}{x}[/m]

Замена
[m]\frac{y}{x}=u[/m]

y=u*x
y`=u`*x+u*x`

x`=1 ( u` нет, так как х - независимая переменная, а u - зависимая, сложная функция)

u`*x+u+2*sqrt(u)=u

u`*x+2*sqrt(u)=0 - уравнение с разделяющимися переменными

u`=[m]\frac{du}{dx}[/m]

x*du=-2sqrt(u)dx

[m]\frac{du}{2\sqrt{u}}=-\frac{dx}{x}[/m]

Интегрируем

[m]\int \frac{du}{2\sqrt{u}}=-\int \frac{dx}{x}[/m]

[m]\sqrt{u}=-ln|x|+lnC[/m]

[m]\sqrt{u}=ln(\frac{C}{x})[/m]

[m]u=ln^2(\frac{C}{x})[/m]

Обратная замена
[m]\frac{y}{x}=ln^2(\frac{C}{x})[/m]

[m]y=x\cdot ln^2(\frac{C}{x})[/m] - о т в е т