Задача 49604 ...

booneelij

8 мая 2020 г. в 04:57

Решите неравенство 2·√(2x−1)² + √x³ + x²−4x−4 ≤ 2−4x.

sova

8 мая 2020 г. в 09:32

ОДЗ:
x³+x²–4x–4 ≥ 0 ⇒ x²·(x+1)–4·(x+1) ≥ 0 ⇒ (x+1)·(x²–4) ≥ 0

__–__ [–2] __+___ [–1] _____–___________[2] __+___

x ∈ [–2;–1]U[2;+ ∞ )

Перепишем неравенство в виде:

2·√(2x–1)²+4x–2 +√(x+1)(x–2)(x+2) ≤ 0

Так как √x²=|x|, то
2·|2x–1|+2·(2x–1) +√(x+1)(x–2)(x+2) ≤ 0



Пусть x ∈ [–2;–1], тогда |2x–1|=–(2x–1)

неравенство принимает вид:

2·(–2(x–1)+2·(x–1)+√(x+1)(x–2)(x+2) ≤ 0 ⇒ √(x+1)(x–2)(x+2) ≤ 0

По определению арифметического квадратного корня он принимает только неотрицательные значения, поэтому возможно лишь равенство
√(x+1)(x–2)(x+2) =0 ⇒ x=–2;x=–1;x=0

Пусть x ∈ [2;+ ∞ ), тогда |2x–1|=2x–1

Но при x ≥ 2

2x–1 ≥ 2·2–1=3 >0

неравенство принимает вид

2·(2х–1)+2·(2x–1)+√(x+1)(x+2)(x–2) ≤ 0

4·(2х–1)+√(x+1)(x+2)(x–2) ≤ 0 невозможно, так как

4·(2x–1) ≥ 12

√(x+1)(x+2)(x–2) ≥ 0


О т в е т. –2;–1;2