Задача 31498 2. Найти [m]\frac{dy}{dx}[/m]: a) ln y =...

vk442921024

2 декабря 2018 г. в 18:11

2. Найти [m]\frac{dy}{dx}[/m]:
a) ln y = cos xy – 7 б) x²y² – ctgy + 3 = 0

3. Дано: y = xarcsin x – [m]\sqrt{1 - x^2}[/m].
Выписать квадратичное приближение по формуле Тейлора в окрестности [m]x_0 = 0[/m]. Оценить точность приближения в точке [m]x = x_0 + 0.4.[/m]

4. Найти дифференциал функции:
[m]y = cos(arctg \frac{x}{2})[/m]

sova

2 декабря 2018 г. в 23:03

★

2.a)
y`/y=(–sinxy)·(xy)`
y`/y=(–sinxy)·(x`·y+x·y`)
x`=1, так как х – независимая переменная
y`/y=(–sinxy)·(y+x·y`)
(y`/y)+x·y`sin(xy)=–y·sin(xy)

y`=–y·sinxy/((1/y)+xsin(xy))

y`=–y²sin(xy)/(1+(xy)·sin(xy))

б)
(x²)`·y<sup>2</sup>+x<sup>2</sup>·(y<sup>2</sup>)`+(1/sin²y)·y`=0

(x²)`=2x
(y<sup>2</sup>)`=(2y)·y`
2x·y<sup>2</sup>+(4x<sup>2</sup>y+(1/sin<sup>2</sup>y))·y`=0

y`=–2xy²/(4x²·y+(1/sin²x))

3.
см. приложение
f(0)=–1

f`(x)=(x)`·arcsinx+x·(arcsinx)` – (√1–x<sup>2</sup>)`
f`(x)=arcsinx + (x/√1–x²)+(2x/2√1–x²)

f`(x)=arcsinx + 2(x/√1–x²)

f`(0)=0

f``(x)=1/√1–x<sup>2</sup> +(2x)`·(1–x<sup>2</sup>)<sup>–1/2</sup>+2x·((1–x<sup>2</sup>)<sup>–1/2</sup>)`;
f``(x)=(1/√1–x²)+2·(1–x²)^–1/2+2x·(–1/2)·(1–x²)^–3/2·(1–x²)`
f``(x)=(1/√1–x<sup>2</sup>)·(3–3x<sup>2</sup>+2x)/(1–x<sup>2</sup>)
f``(0)=3

По формуле Тейлора
f(x) ≈ –1+0·x+(3/2!)x²

f(x) ≈ (3/2)x² –1

4
dy=y`(x)dx

y`(x)=–sin(arctg(x/2))·(arctg(x/2))`

y`(x)=–sin(arctg(x/2))·(1/(1+(x/2)<sup>2</sup>))·(x/2)`

y`(x)=–(1/2)·sin(arctg(x/2))/(1+(x/2)²)

dy=–(1/2)·sin(arctg(x/2))dx/(1+(x/2)²)