Задача 27846 y' = (x^2 + xy - 3y^2) / (x^2 - 4xy)...

u10920119980

22 мая 2018 г.

y' = (x² + xy – 3y²) / (x² – 4xy)

SOVA

22 мая 2018 г.

★

Это однородное уравнение первого порядка.
Cправа и числитель и знаменатель делим на x²
y`=phi (y/x)

Обозначим
y/x=u
y=x·u
y`=u+x·u` ( x`=1, x – независимая переменная)

u+x·u`=(1+u–3u²)/(1–4u)

u–4u²+x·u`·(1–4u)=1+u–3u²

x·u`·(1–4u)=1+u²

(1–4u)du/(1+u²)=dx/x

Интегрируем
∫ (1–4u)du/(1+u²)= ∫ dx/x
arctgu–2ln|1+u²|=ln|x|+lnC
arctg(y/x)=lnCx·(1+(y²/x²))²
О т в е т. arctg(y/x)=lnCx·(1+(y²/x²))²