Задача 27846 y' = (x^2 + xy - 3y^2) / (x^2 - 4xy)...

u10920119980

22.05.2018

y' = (x^2 + xy - 3y^2) / (x^2 - 4xy)

SOVA

22.05.2018

★

Это однородное уравнение первого порядка.
Cправа и числитель и знаменатель делим на x^2
y`=phi (y/x)

Обозначим
y/x=u
y=x*u
y`=u+x*u` ( x`=1, x - независимая переменная)

u+x*u`=(1+u-3u^2)/(1-4u)

u-4u^2+x*u`*(1-4u)=1+u-3u^2

x*u`*(1-4u)=1+u^2

(1-4u)du/(1+u^2)=dx/x

Интегрируем
∫ (1-4u)du/(1+u^2)= ∫ dx/x
arctgu-2ln|1+u^2|=ln|x|+lnC
arctg(y/x)=lnCx*(1+(y^2/x^2))^2
О т в е т. arctg(y/x)=lnCx*(1+(y^2/x^2))^2