Задача 13320 ...

alpenq@mail.ru

31.01.2017

Две окружности Ω и ω радиусов R=20 и r=16 касаются внутренним образом. Хорда AB окружности Ω касается окружности ω в точке C. Найдите длину хорды AB, если известно, что AC : BC = 1:2

SOVA

31.01.2017

★

См. рисунок.
ОС=ОМ=ОТ=16 .
РМ=PN=PB=20.
РО=РМ-ОМ=20-16=4
Проведем РК⊥АВ.
РК- часть диаметра окружности радиуса 20

Диаметр, перпендикулярный хорде делит эту хорду пополам.
Пусть АС=х, ВС=2х. По условию АС:ВС=х:2х=1:2.
АВ=АС+СВ=х+2х=3х.
Значит АК=КВ=1,5х;
СК=АК-АС=1,5х-х=0,5х.
Из прямоугольного треугольника РКВ:
РК^2=PB^2-KB^2
PK^2=(20)^2-(1,5x)^2
Рассмотрим прямоугольную трапецию ОСКР.
Проведем высоту РЕ.
Из прямоугольного треугольника ОЕР:
ОЕ^2+PE^2=OP^2
РЕ=КС=0,5х
EC=PK=√((20)^2-(1,5x)^2)
ОЕ=16-√((20)^2-(1,5x)^2)
(16-√((20)^2-(1,5x)^2))^2 +(0,5х)^2=4^2;

256-32√((20)^2-(1,5x)^2)+(20)^2-(1,5x)^2+0,25x^2=4^2.
или
32√((20)^2-(1,5x)^2)=256+(20)^2-(4)^2-2x^2;
16√((20)^2-(1,5x)^2)=320-x^2;

Возводим в квадрат:
256*(20^2-(1,5x)^2)=320^2-2*320x^2+x^4;
х^4-64x^2=0
x^2(x^2-64)=0
x^2=0 или x^2=64
x=8.
AB=3x=24
О т в е т. АВ=24.