Задача 38031 ...

copter

8 июня 2019 г. в 17:13

Вычислить неопределенный интеграл ∫ (2x–5)/(3x²–2) dx

sova

9 июня 2019 г. в 11:02

★

Действие, обратное действию приведения к общему знаменателю:
делим первое слагаемое числителя на знаменатель и второе слагаемое числителя на знаменатель
(2х–5)/(3x²–2)=(2x)/(3x²–2) – (5)/(3x²–2)

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

∫ (2x–5)dx/(3x²–2)= ∫ 2xdx/(3x²–2) – ∫ 5dx/(3x²–2)=

первый интеграл сводим к интегралу ∫ du/u=ln|u|

второй по формуле ∫ du/(u²–a²)=(1/(2a))· ln|(u–a)/(u+a) + C


Итак, решение можно записать коротко так:

∫ (2x–5)dx/(3x²–2)= ∫ 2xdx/(3x²–2) – ∫ 5dx/(3x²–2)=

=(1/3) ∫ (6xdx)/(3x²–2) – 5·∫dx/((√3x)²–2)=

=(1/3) ∫ d(3x²–2)/(3x²–2)–(5/√3) ∫ d(√3x)/((√3x)²–2)=

=(1/3)ln|3x²–2| –(5/√3)·(1/(2√2))ln|(√3x–√2)/(√3x+√2)| + C=

= (1/3)ln|3x²–2| –(5/(2√6))·ln|(√3x–√2)/(√3x+√2)| + C