Задача 33726 Решить неравенство (log(2^(x+4)) 4) /...

vk177899689

2019-02-19 22:01:07

Решить неравенство

(log(2^(x+4)) 4) / (log(2^(x+4)) (-8x)) меньше или равно 1/(log2log(1/2) 2^x)

sova

2019-02-19 23:31:16

ОДЗ:
{2^(x+4) > 0 при любом х
{2^(x +4) ≠ 1 ⇒ x +4 ≠ 0 ⇒ x ≠ -4
{-8x>0 ⇒ x <0
{2^x>0 при любом х
{log_(1/2)2^x> 0 ⇒ log_(1/2)2^(x) > log_(1/2)1 ⇒ 2^(x) <1 ⇒ x <0

ОДЗ: ( - ∞ ;-4)U(-4;0)

Применяем свойства логарифмов:
log_(1/2)2^(x)=log_(2^(-1))2^(x)=-log_(2)2^(x)=-xlog_(2)2=-x
log_(2)(log_(1/2)2^(x))=log_(2)(-x)

Применяем формулу перехода к другому основанию

log_(c)b/log_(c)a=log_(a)b

(log_(2^(x +4))4)/(log_(2^(x +4))(-8x))=log_(-8x)4=log_(2)4/log_(2)(-8x)

log_(2)4=2
log_(2)(-8x)=log_(2)8+ log_(2)(-x)=3+ log_(2)(-x)

Неравенство принимает вид:

2/(3+ log_(2)(-x)) ≤ 1/log_(2)(-x);

Замена переменной

log_(2)(-x)=t

2/(3+ t) ≤ 1/t
(2t-3-t)/(t*(3+ t)) ≤0
(t-3)/(t*(t +3)) ≤ 0

_-__ (-3) __+ __ (0) __-__ [3] _+ __

t< -3 или 0 < t ≤ 3
Обратная замена

log_(2)(-x) < -3 ⇒ log_(2)(-x) < log_(2) 1/8
логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому
- x < 1/8 ⇒ [b]x > -1/8[/b]
или

0 < log_(2)(-x) ≤ 3 ⇒ log_(2)1 < log_(2) (-x) ≤ log_(2)8 ⇒ 1 < - x ≤ 8

умножаем на (-1)

[b]-8 ≤ х < -1[/b]

C учетом ОДЗ:
о т в е т. [-8; -4) U (-4; -1)U(-1/8;0)