Задача 33726 Решить неравенство (log(2^(x+4)) 4) /...

vk177899689

19 февраля 2019 г. в 22:01

Решить неравенство

(log_2^x+4 4) / (log_2^x+4 (–8x)) ≤ 1/(log₂log_1/2 2^x)

sova

19 февраля 2019 г. в 23:31

ОДЗ:
{2^x+4 > 0 при любом х
{2^{x +4} ≠ 1 ⇒ x +4 ≠ 0 ⇒ x ≠ –4
{–8x>0 ⇒ x <0
{2^x>0 при любом х
{log_1/22^x> 0 ⇒ log_1/22^x > log_1/21 ⇒ 2^x <1 ⇒ x <0

ОДЗ: ( – ∞ ;–4)U(–4;0)

Применяем свойства логарифмов:
log_1/22^x=log_2^–12^x=–log₂2^x=–xlog₂2=–x
log₂(log_1/22^x)=log₂(–x)

Применяем формулу перехода к другому основанию

log_cb/log_ca=log_ab

(log_{2^{x +4}}4)/(log_{2^{x +4}}(–8x))=log_–8x4=log₂4/log₂(–8x)

log₂4=2
log₂(–8x)=log₂8+ log₂(–x)=3+ log₂(–x)

Неравенство принимает вид:

2/(3+ log₂(–x)) ≤ 1/log₂(–x);

Замена переменной

log₂(–x)=t

2/(3+ t) ≤ 1/t
(2t–3–t)/(t·(3+ t)) ≤0
(t–3)/(t·(t +3)) ≤ 0

_–__ (–3) __+ __ (0) __–__ [3] _+ __

t< –3 или 0 < t ≤ 3
Обратная замена

log₂(–x) < –3 ⇒ log₂(–x) < log₂ 1/8
логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому
– x < 1/8 ⇒ x > –1/8
или

0 < log₂(–x) ≤ 3 ⇒ log₂1 < log₂ (–x) ≤ log₂8 ⇒ 1 < – x ≤ 8

умножаем на (–1)

–8 ≤ х < –1

C учетом ОДЗ:
о т в е т. [–8; –4) U (–4; –1)U(–1/8;0)