Задача 26364 Плотность вероятностей случайной...

slava191

16.04.2018

Плотность вероятностей случайной величины X равна:
[img=https://reshimvse.com/img/1523897086g.png]


Найти коэффициент ''a'', интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X) и вероятность P(0 < X < Pi/4)

SOVA

16.04.2018

★

1. Коэффициент а находим из условия
∫^(+∞)_(- ∞)f(x)dx=1

∫^(+∞)_(- ∞)f(x)dx=∫^(0)_(- ∞)0dx+∫^(Pi/2)_(0)a*cosxdx+ ∫ ^(+∞)_(Pi/2)0dx=

=∫^(Pi/2)_(0)a*cosxdx=asinx|^(Pi/2)_(0)=a*(sin(Pi/2)-sin0)=a

a=1

Если 0 < x < Pi/2
F(x)=∫^(x)_(- ∞)f(t)dt=∫^(0)_(- ∞)0*dt+∫^(x)_(0)costdt=
=0+(sint)|^(x)_(0)=sinx-sin0=sinx

Если x > Pi/2
F(x)=∫^(x)_(- ∞)f(t)dt=∫^(0)_(- ∞)0*dt+
+∫^(Pi/2)_(0)costdt + ∫^(x)_(Pi/2)0*dt =
=0+(sint)|^(Pi/2)_(0)+0=sin(Pi/2)-sin0=1

F(x)=
{ 0 при x < 0
{ sinx при 0 < x < Pi/2
{ 1 при х > Pi/2

M(X)= ∫^(+∞)_(- ∞)xf(x)dx=∫^(0)_(- ∞)x*0dx+ ∫^(Pi/2)_(0)xcosxdx+ ∫ ^(+∞)_(Pi/2)x*0dx=(интегрируем по частям)
=(x*sinx)|^(Pi/2)_(0)-∫^(Pi/2)_(0)(sinx)dx=
=(Pi/2)*(sin(Pi/2))-0-(-cosx)|^(Pi/2)_(0)=(Pi/2)-1

D(X)=∫^(+∞)_(- ∞)x^2f(x)dx-(M(X))^2=∫^(0)_(- ∞)x^(2)*0dx+ ∫^(Pi/2)_(0)x^2cosxdx+ ∫ ^(+∞)_(Pi/2)x^2*0dx - ((Pi/2)-1) ^2=
интегрируем по частям дважды:
=(x^2)*(sinx)|^(Pi/2)_(0)-2∫^(Pi/2)_(0)xsinxdx -((Pi/2)- 1)^2=(Pi/2)^2 -2*(-xcosx+sinx)|^(Pi/2)_(0)-
-((Pi/2)- 1)^2
=(Pi/2)^2-2-(Pi/2)^2+Pi-1=Pi-3

P(0 < x < Pi/4)=F(Pi/4)-F(0)=sin(Pi/4)-0=sqrt(2)/2