Задача 26364 Плотность вероятностей случайной...

slava191

16 апреля 2018 г.

Плотность вероятностей случайной величины X равна:
[img=https://reshimvse.com/img/1523897086g.png]


Найти коэффициент ''a'', интегральную функцию распределения F(x), M(X), D(X) и вероятность P(0 < X < π/4)

SOVA

16 апреля 2018 г.

★

1. Коэффициент а находим из условия
∫^+∞_{– ∞}f(x)dx=1

∫^+∞_{– ∞}f(x)dx=∫⁰_{– ∞}0dx+∫^π/2₀a·cosxdx+ ∫ ^+∞_π/20dx=

=∫^π/2₀a·cosxdx=asinx|^π/2₀=a·(sin(π/2)–sin0)=a

a=1

Если 0 < x < π/2
F(x)=∫^x_{– ∞}f(t)dt=∫⁰_{– ∞}0·dt+∫^x₀costdt=
=0+(sint)|^x₀=sinx–sin0=sinx

Если x > π/2
F(x)=∫^x_{– ∞}f(t)dt=∫⁰_{– ∞}0·dt+
+∫^π/2₀costdt + ∫^x_π/20·dt =
=0+(sint)|^π/2₀+0=sin(π/2)–sin0=1

F(x)=
{ 0 при x < 0
{ sinx при 0 < x < π/2
{ 1 при х > π/2

M(X)= ∫^+∞_{– ∞}xf(x)dx=∫⁰_{– ∞}x·0dx+ ∫^π/2₀xcosxdx+ ∫ ^+∞_π/2x·0dx=(интегрируем по частям)
=(x·sinx)|^π/2₀–∫^π/2₀(sinx)dx=
=(π/2)·(sin(π/2))–0–(–cosx)|^π/2₀=(π/2)–1

D(X)=∫^+∞_{– ∞}x²f(x)dx–(M(X))²=∫⁰_{– ∞}x²·0dx+ ∫^π/2₀x²cosxdx+ ∫ ^+∞_π/2x²·0dx – ((π/2)–1) ²=
интегрируем по частям дважды:
=(x²)·(sinx)|^π/2₀–2∫^π/2₀xsinxdx –((π/2)– 1)²=(π/2)² –2·(–xcosx+sinx)|^π/2₀–
–((π/2)– 1)²
=(π/2)²–2–(π/2)²+π–1=π–3

P(0 < x < π/4)=F(π/4)–F(0)=sin(π/4)–0=√2/2