Задача 16071 В системе координат Oxyz расположен куб...

slava191

28 мая 2017 г.

В системе координат Oxyz расположен куб АВСВА1В1С1В1 так, что D(1;0;0), C1(1;1;1), А1(0;1;0), А(0;0;0). Постройте этот куб. Векторно–координатным методом найдите:

1. Угол между прямыми:
а) А1В и АС;
б) D1В и В1С;
в) АС1 и D1В.

2. Синус угла между прямой и плоскостью:
а) ВС и (АВ1D1);
б) А1В и (АВ1С);
в) В1D1 и (АВ1С);
г) А1В и (ВС1D).

3. Угол между плоскостями:
а) АВ1С и АВС1;
б) АВ1С и А1ВС1;
в) D1АС и В1АС.

SOVA

30 мая 2017 г.

★

1 а)
Проводим D1C || A1В. Плоскость D1СA || A1В.
Cоставляем уравнение плоскости D1СA
Пусть M (х;у;z) – произвольная точка этой плоскости.
Векторы
AM (x;y;z); AD1 (1;1;0) и AC1(1;0;1)
компланарны (лежат в одной плоскости).
Записываем условие компланарности векторов: определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0.
Раскрываем этот определитель и получаем уравнение плоскости D1CA
x–y–z=0
Расстояние от любой точки прямой А1В, например от точки В, и есть расстояние между прямыми.
d(B)=|(x_в–у_в–z_в|/√3=|0–0–1|/√3=1/√3.

1б)
Проводим B1K || BD1. Плоскость B1KC || BD1
Cоставляем уравнение плоскости B1KC
K(1;2;0)
Пусть M (х;у;z) – произвольная точка этой плоскости.
Векторы
KM (x;y;z); B1K (1;1;–1) и CK(0;2;–1)
компланарны (лежат в одной плоскости).
Записываем условие компланарности векторов: определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0.
Раскрываем этот определитель и получаем уравнение плоскости B1KC:
x+y+2z–3=0
Расстояние от любой точки прямой А1В, например от точки В, и есть расстояние между прямыми.
d(B)=|(x_в+у_в+2z_в–3|/√1+1+4=|0+0+2·1–3|/√6=1/√6.

1в)
Диагонали куба АС1 и D1B пересекаются в точке O– центре куба.
AC1(1;1;1)
D1B(–1;–1;1)
Их скалярное произведение
AC1·D1B=–1–1+1=–1
|AC1|=√3
|D1B|=√3
cos∠(AC1,D1B)=–1/3
sin∠(AC1,D1B)=√1–(–1/3)²=√8/9=
=2√2/3
d=|C1K|=|OC1|·sin∠(AC1,D1B)=
=(√3/2)·(2√2)/(3)=√6/3

Cм. Теоретические сведения для решения задачи 2 в приложении 2.
2а)
Cоставляем уравнение плоскости AB1D1:
Пусть M (х;у;z) – произвольная точка этой плоскости.
Векторы
AM (x;y;z); AB1 (0;1;1) и AD1(1;1;0)
компланарны (лежат в одной плоскости).
Записываем условие компланарности векторов: определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0.
Раскрываем этот определитель и получаем уравнение плоскости AB1D1:x–y+z=0
n(1;–1;1)
m= BC(1;0;0)
sin β=|1+0+0|/(1·√3)=1/√3

2б)
Cоставляем уравнение плоскости AB1С:
Пусть M (х;у;z) – произвольная точка этой плоскости.
Векторы
AM (x;y;z); AB1 (0;1;1) и AС(1;0;1)
компланарны (лежат в одной плоскости).
Записываем условие компланарности векторов: определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0.
Раскрываем этот определитель и получаем уравнение плоскости AB1С:
х+y–z=0
n(1;1;–1)
m= А1B(0;–1;1)
sin β=|0–1–1|/(√2·√3)=2/(√2·√3)=√2/3

2в)
Cоставляем уравнение плоскости AB1С ( см. п.2б))
х+y–z=0
n(1;1;–1)
m= B1D1(1;0;–1)
sin β=|1+0+1|/(√2·√3)=2/(√2·√3)=√2/3

2г)
Cоставляем уравнение плоскости BC1D:
Пусть M (х;у;z) – произвольная точка этой плоскости.
Векторы
BM (x;y;z–1); BC1 (1;1;0) и BD(1;0;–1)
компланарны (лежат в одной плоскости).
Записываем условие компланарности векторов: определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0.
Раскрываем этот определитель и получаем уравнение плоскости BC1D::
x–y+z–1=0
n(1;1;–1)
m= А1B(0;–1;1)
sin β=|0+1+1|/(√2·√3)=2/(√2·√3)=√2/3

Cм. Теоретические сведения для решения задачи 3 в приложении 3.
3а)
Cоставляем уравнение плоскости AB1C ( cм. пункт 2б) :
х+y–z=0
n1(1;1;–1)
Cоставляем уравнение плоскости ABС1:
Пусть M (х;у;z) – произвольная точка этой плоскости.
Векторы
AM (x;y;z); AB (0;0;1) и AС1(1;1;1)
компланарны (лежат в одной плоскости).
Записываем условие компланарности векторов: определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0.
Раскрываем этот определитель и получаем уравнение плоскости ABC1:
x–y=0
n2(1;–1;0)

cos φ=|1–1+0|/(√2·√3)=0/(√2·√3)=0

φ= π/2

3б)
Cоставляем уравнение плоскости AB1С( cм. пункт 2б):
х+y–z=0
n1(1;1;–1)
Cоставляем уравнение плоскости A1BС1:
Пусть M (х;у;z) – произвольная точка этой плоскости.
Векторы
A1M (x;y–1;z–1); A1B (0;–1;1) и A1С1(1;0;1)
компланарны (лежат в одной плоскости).
Записываем условие компланарности векторов: определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0.
Раскрываем этот определитель и получаем уравнение плоскости ABC1:
x–y–z–2=0
n2(1;–1;–1)

cos φ=|1–1+1|/(√3·√3)=1/(√3·√3)=1/3

φ= arccos(1/3)

3в)
Cоставляем уравнение плоскости D1AС
Пусть M (х;у;z) – произвольная точка этой плоскости.
Векторы
AM (x;y;z); AD1 (1;1;0) и AC(1;0;–1)
компланарны (лежат в одной плоскости).
Записываем условие компланарности векторов: определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0.
Раскрываем этот определитель и получаем уравнение плоскостиD1AC:
x–y+z–1=0
n1(1;–1;1)
Cоставляем уравнение плоскости B1AС
Пусть M (х;у;z) – произвольная точка этой плоскости.
Векторы
AM (x;y;z); AB1 (0;–1;1) и AC(1;0;1)
компланарны (лежат в одной плоскости).
Записываем условие компланарности векторов: определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0.
Раскрываем этот определитель и получаем уравнение плоскостиD1AC:
x–z=0
n2(1;0;–1)

cos φ =|1+0–1|/(√2·√3)=0/(√2·√3)=0

φ= π/2