Задача 35330 ...

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3 апреля 2019 г. в 21:06

∫ dx / (2 – cos x);
∫ cos⁵ x / (1 + sin x) dx;
∫ dx / (2 sin²x + 7 cos²x);
∫ sin² x / cos¹⁰ x dx;

∫ sin⁴ x cos³ x dx;
∫ sin⁶ 2x dx;
∫ cos 3x cos 2x dx

sova

3 апреля 2019 г. в 21:51

★

7.
∫ сos3x·cos2xdx
Формула
сos α ·cos β =(1/2)cos( α + β )+(1/2)cos( α – β )
сos3x·cos2x=(1/2)cos5x+(1/2)cosx

∫ сos3x·cos2xdx= ∫ ((1/2)cos5x+(1/2)cosx)dx

интеграл от суммы равен сумме интегралов:
=(1/2) ∫ сos5xdx+(1/2) ∫ cosxdx=(1/2)·(1/5)·sin5x +(1/2)sinx+C=
= (1/10)sin5x+(1/2)sinx+C

6.

cos⁶2x=(cos²2x)³=((1+cos4x)/2)³=(1+3cos4x+3cos²4x+cos³4x)/8

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

∫ cos⁶2xdx=(1/8)∫ dx+(3/8)∫ cos4xdx+(3/8)∫ cos²4xdx+(1/8)∫ cos³4xdx=

=(1/8)x+(3/8)·(1/4)·sin4x +(3/8)·(1/2) ∫ (1+cos8x)dx+(1/8) ∫ (1–sin²4x)·cos4xdx=

= (1/8)x +(3/32)sin4x+ (3/16)x +(3/16)·(1/8)·sin8x+

+(1/8)·(1/4)·sin4x–(1/8)·(1/4)·(sin³4x/3)+C=

привести подобные

5.
∫ sin⁴x·cos³xdx= ∫ sin⁴x·cos²x·cosxdx=

= ∫ sin⁴x·(1–sin²x)·cosxdx= ∫ sin⁴x·cosxdx– ∫ sin⁶xcosxdx=

= ∫ sin⁴x·d(sinx)– ∫ sin⁶xd(sinx) =(sin⁵x/5)–(sin⁷x/7) + C

3.
2sin²x+7cos²x=cos²x·(2tg²x+7)

∫ dx/(2sin²x+7cos²x)= ∫dx/ cos²x(2tg²x+7)=

=(1/2) ∫ d(tgx)/(tg²x+(7/2)= (1/2)·(1/√7/2)arctg(tgx/√7/2C=

= (1/√14) arctg (√2tgx/√7) + C

1.
tg(x/2)=t
x/2=arctgt
x=2arctgt
dx=2dt/(1+t²)

cosx=(1–t²)/(1+t²)
2–cosx=1–(1–t²)/(1+t²)=(2+2t²–1+t²)/(1+t²)=(3t²+1)/(t²+1)

∫ dx/(2–cosx)= ∫ dt/(3t²+1)= (1/3) ∫ dt/(t²+(1/3))=

=(1/3)·(1/√1/3)· arctg (t/√1/3)+C=

= (1/√3) arctg(√3·tg(x/2)) + C

2.

cos⁵x=cos⁴x·cosx=(cos²x)²·cosx=(1–sin²x)²·cosx=

=(1–sinx)²·(1+sinx)²·cosx

∫ cos⁵xdx/(1+sinx)= ∫ (1–sinx)²·(1+sinx)cosxdx

sinx=t
cosxdx=dt

= ∫ (1–t²)·(1+t)dt= ∫ (1–t²+t–t³)dt= t–(t³/3)+(t²/2)–(t⁴/4) + C=

= sinx– (sinx)³/3 + (sinx)²/2 – (sinx)⁴/4 + C

4.
tgx=t
x=arctgt
dx=dt/(1+t²)

1+tg²t=1/cos²x
cos²x=1/(1+tg²x)=1/(1+t²)
sin²x=1–cos²x=1–(1/(1+tg²x))=tg²x/(1+tg²x)=t²/(1+t²)

∫ sin²xdx/cos¹⁰x=

= ∫ t²·(1+t²)⁵dt/(1+t²)²=

= ∫ t²·(1+t²)³dt=

= ∫ (t²+3t⁴+3t⁶+t⁸)dt=

=(t³/3)+(3t⁵/5)+(3t⁷/7)+(t⁹/9) + C=

= (tg³x/3)+(3tg⁵x/5)+(3tg⁷x/7)+(tg⁹x/9) + C