Задача 46987 А) Решить однородное дифференциальное...

vk267309506

2020-04-13 22:11:44

А) Решить однородное дифференциальное уравнение
Б) Решить линейное уравнение

sova

2020-04-14 00:09:44

1)
Замена:
y/x=u ⇒ y=u*x

y`=u`*x+u*x` ( x - независимая переменная, поэтому x`=1)

[b]y`=u`*x+u[/b]

Подставляем в уравнение:

u`*x+u=u-1

u`*x=-1

u`=-1/x

u=-ln|x|+C

y=u*x

[b]y=(-lnx+C)*x[/b]

2)

Решаем методом Бернулли

Решение в виде
y=u*v
Находим
y`=u`*v+u*v`
Подставляем в уравнение:
u`*v+u*v`+x^2*u*v=[b]x^2[/b]

u`*v+u(v`+x^2*v)=[b]x^2[/b]

Выбираем функцию v так,чтобы
v`+x^2*v=0

Решаем уравнение с разделяющимися переменными

v`+x^2*v=0 ⇒ dv/dx=-x^2*v⇒ dv/v=-x^2dx ⇒ ∫ dv/v=-∫ x^2dx ⇒ ln|v|=-x^3/3 ⇒ [b]v=e^(-x^3/3)[/b]

Тогда данное уравнение принимает вид

u`*e^(-x^3/3)+0=[b]x^2[/b]

u`=x^2*e^(x^3/3)
u`=du/dx


du=x^2*e^(x^3/3)

∫ du= ∫ x^2*e^(x^3/3)dx [ [i]замена переменной[/i]: t=x^3/3; dt=(3x^2/3)dx=x^2dx; ∫ e^(t)dt=e^(t)]


[red]u=e^(x^3/3)+C[/red]


y=u*v=(e^(x^3/3)+C)(-x^3/3)

y=([red]e^(x^3/3)+C[/red])[b](-x^3/3)] [/b]о т в е т.