Задача 34191 (x+1)y'+y = x^3+x^2, y(0) = 0...

vk130176809

2019-03-05 08:56:34

(x+1)y'+y = x^3+x^2, y(0) = 0

sova

2019-03-05 09:27:14

★

Линейное неоднородное уравнение первого порядка.
y` + (1/(x+1))*y=x^2

Решаем однородное:
y` + (1/(x+1))*y=0
Это уравнение с разделяющимися переменными
y`= - y/(x+1)
dy/y= - dx/(x+1)
Интегрируем
ln|y|= - ln|x+1|+lnc
y=c/(x+1)

Применяем метод вариации произвольной постоянной

y=c(x)/(x+1)

y`=(c`(x)*(x+1)-(x+1)*c(x))/(x+1)^2

y`=c`(x)/(x+1) - c(x)/(x+1)^2

Подставляем y` и y в данное уравнение:

c`(x)/(x+1) - c(x)/(x+1)^2 + c(х)/(x+1)^2=x^2

c`(x)=x^2(x+1)

c`(x)=x^3+x^2

c(x)=(x^4/4)+(x^3/3) + C

y=((x^4/4)+(x^3/3) + C)/(x+1)

[b]y=x^3(3x+4)/(12*(x+1)) + (C/(x+1)) [/b] - общее решение

y(0)=0

0=0+C/(0+1) ⇒ C=0

[b]y=x^3(3x+4)/(12*(x+1)) [/b] - частное решение