Задача 27117 Л14) Дан куб ABCDA1B1C1D1. Пусть l -...

slava191

05.05.2018

Л14) Дан куб ABCDA1B1C1D1. Пусть l - линия пересечения плоскостей АСD1 и ВDC1.

А) Докажите, что прямые DB1 и l перпендикулярны.

Б) Найдите расстояние между прямыми DB1 и l , если ребро куба равно 2.

SOVA

06.05.2018

а)
Введем систему координат.
Пусть A(0;0;0); B(0;1;0); C(1;1;0); D(1;0;0)
A_(1)(0;0;1) ; B(0;1;1); C(1;1;1) ; D(1;0;1)

Плоскости АСD1 и BDC1 имеют две общие точки.
АС ∩ BD=0
и
D1C ∩ C1D=K

[b]O((1/2);(1/2);0) и K(1;(1/2);(1/2) [b]

vector{OK}=(1-(1/2);(1/2)-(1/2);)(1/2)-0)=(1/2; 0; 1/2)
vector{B1D}=(0-1;1-0;1-0)=(-1; 1; 1)

[b]vector{OK}*vector{B1D}= (1/2)*(-1)+0*1+(1/2)*1=0[/b]

Векторы vector{OK} и vector{B1D} ортогональны, значит и прямые их содержащие ортогональны.

б)
Проводим плоскость, параллельную BDD1B1
через точку К

d=AC/4=2sqrt(2)/4=sqrt(2)/2