Задача 12703 Какое наибольшее значение может...

myra

05.01.2017

Какое наибольшее значение может принимать модуль синуса суммы углов, удовлетворяющих системе уравнений:
tgx=56/15*cos(y);
tgy=56/15*cos(z);
tgz=56/15*cos(x).

SOVA

05.01.2017

★

Перепишем систему в виде:
{sinx=(56/15)cosx*cosy
{siny=(56/15)cosy*cosz
{sinz=(56/15)cosx*cosz

Возведем в квадрат:
{sin^2x=(3136/225)cos^2x*cos^2y
{sin^2y=(3136/225)cos^2y*cos^2z
{sin^2z=(3136/225)cos^2x*cos^2z

Заменим sin^2x=1-cos^2x и для упрощения записей введем обозначения
cos^2x=t, t > 0 ; cos^2y=u, u > 0; cos^2z=v, V > 0.
Cистема принимает вид:
{1-t=(3136/225)ut; ⇒{t=225/(3136u+225);
{1-u=(3136/225)uv; ⇒{v=225*(1-u)/3136u;
{1-v=(3136/225)vt.

Подставляем найденные t и v в третье уравнение:
1-(225-225u)/3136u=(3136/225)*(225*(1-u))/(3136u)*(225/(3136u+225))⇒

3136u^2+225u-225=0
D=225^2-4*3136*(-225)=225*(225+12544)=225*12769=
=(15*113)^2

u_(1)=(-225+15*113)/(2*3136)=15/64;
u_(2) < 0 и не удовлетворяет условию u > 0.

t=225/(3136*(15/64)+225)=15/64
v=(225-225*(15/64)/(3136*(15/64))=15/64

Итак,
сosx=±sqrt(15)/8; cosy=±sqrt(15)/8; cosz=±sqrt(15)/8;
sinx=±sqrt(1-(15/64))=±7/8; siny=±7/8; sinz=±7/8.

Выразим
sin(x+y+z)=sin(x+y)cosz+cos(x+y)sinz=
=sinx*cosy*cosz+cosx*siny*cosz+cosx*cosy*sinz-sinx*siny*sinz.
|sin(x+y+z)|=|(±7/8)*(±sqrt(15)/8)*(±sqrt(15)/8)+(±7/8)*(±sqrt(15)/8)*(±sqrt(15)/8)+(±7/8)*(±sqrt(15)/8)*(±sqrt(15)/8)-(±7/8)*(±7)/8)*(±7)/8)|=
=|(7/8)((15/64)-(15/64)+(15/64)+(49/64))|=7/8
О т в е т. 7/8