Задача 38426 Решить уравнение: sin (1/14)x = cos^4...

admin123

28 июня 2019 г. в 09:26

Решить уравнение:

sin (1/14)x = cos⁴ (1/28)x – sin⁴ (1/28)x

В ответе указать (в градусах) наименьший положительный корень.

sova

28 июня 2019 г. в 11:14

1) Замена переменной:

(1/28)x=t
(1/14)x=2t

2)Уравнение принимает вид:

sin2t=cos⁴t–sin⁴t

По формуле разности квадратов:

cos⁴t–sin⁴t=(cos²t)²–(sin²t)²=(cos²t–sin²t)·(cos²t+sin²t)=

=cos2t·1=cos2t

Применили формулы
косинуса двойного угла
cos2t=cos²t–sin²t
и
тригонометрической единицы:
cos²t+sin²t=1

3) Уравнение:
sin2t=cos2t – однородное тригонометрическое уравнение первой степени.

Делим на cos2t ≠0

4)
tg2t=1

2t=( π/4)+πk, k ∈ Z

5)
Обратная замена и гра–дусы

(1/14)х=45^o+180^o·k, k ∈ Z

х=(14·45^o)+14·180^o·k, k ∈ Z

х=630^o+2520^o·k, k ∈ Z

(можно оставить 14·180^o вместо 2520^o)

Наименьший положительный корень при n=0
x =630^o



В решении задачи выделено 5 этапов