Задача 38426 Решить уравнение: sin (1/14)x = cos^4...
Условие
sin (1/14)x = cos^4 (1/28)x - sin^4 (1/28)x
В ответе указать (в градусах) наименьший положительный корень.
Решение
Все решения
(1/28)x=t
(1/14)x=2t
2)Уравнение принимает вид:
[b]sin2t=cos^4t-sin^4t[/b]
По формуле разности квадратов:
cos^4t-sin^4t=(cos^2t)^2-(sin^2t)^2=(cos^2t-sin^2t)*(cos^2t+sin^2t)=
=cos2t*1=cos2t
Применили формулы
косинуса двойного угла
cos2t=cos^2t-sin^2t
и
тригонометрической единицы:
cos^2t+sin^2t=1
3) Уравнение:
[b]sin2t=cos2t[/b] - однородное тригонометрическое уравнение первой степени.
Делим на cos2t ≠0
4)
tg2t=1
2t=( π/4)+πk, k ∈ Z
5)
Обратная замена и [b]гра-дусы[/b]
(1/14)х=45^(o)+180^(o)*k, k ∈ Z
х=(14*45^(o))+14*180^(o)*k, k ∈ Z
[b]х=630^(o)+2520^(o)*k, k ∈ Z[/b]
(можно оставить 14*180^(o) вместо 2520^(o))
Наименьший положительный корень при n=0
x [b]=630^(o)[/b]
В решении задачи выделено 5 этапов