(x+y)*y'+y=0
y`=-y/(x+y) [b](1)[/b]
f(x;y)=-y/(x+y)
f( λx; λ y)=- λ x/( λx+ λ y)=-x/(x+y)=f(x;y)
Замена
y/x= u;
y=ux
y`=u`*x+u*x` ( x`=1, x - независимая переменная)
Подставляем y=ux и y`=u`*x+u*x` в [b](1)[/b]
u`*x+u*x` = - ux/(x+ux)
u`*x+u = - u/(1+u)
u`*x=-u^2/(1+u) - уравнение с разделяющимися переменными
Так как
u`=du/dx
du/dx = - u^2/(1+u)
- (1+u)du/u^2= dx - уравнение с разделенными переменными.
Интегрируем:
- ∫ (1+u)du/u^2= ∫ dx
- ∫ du/u^2 - ∫ du/u =∫ dx
(1/u)-ln|u|+lnС=x
Заменим
u=y/x
(x/y)-ln|Cy/x|=x - общее решение данного уравнения.