Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 31241 Проверить уравнение на однородность и...

Условие

Проверить уравнение на однородность и найти его общий интеграл. Выполнить проверку.
(x+y)*y'+y=0

математика 10-11 класс 861

Все решения

Применяем определение.1 ( см. приложение)

y`=-y/(x+y) [b](1)[/b]

f(x;y)=-y/(x+y)

f( λx; λ y)=- λ x/( λx+ λ y)=-x/(x+y)=f(x;y)

Замена
y/x= u;

y=ux

y`=u`*x+u*x` ( x`=1, x - независимая переменная)

Подставляем y=ux и y`=u`*x+u*x` в [b](1)[/b]

u`*x+u*x` = - ux/(x+ux)
u`*x+u = - u/(1+u)

u`*x=-u^2/(1+u) - уравнение с разделяющимися переменными

Так как

u`=du/dx

du/dx = - u^2/(1+u)

- (1+u)du/u^2= dx - уравнение с разделенными переменными.

Интегрируем:

- ∫ (1+u)du/u^2= ∫ dx

- ∫ du/u^2 - ∫ du/u =∫ dx

(1/u)-ln|u|+lnС=x

Заменим

u=y/x

(x/y)-ln|Cy/x|=x - общее решение данного уравнения.

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК