Задача 45626 В треугольнике АВС известно, что АВ = ВС...

slava191

2020-03-30 13:12:53

В треугольнике АВС известно, что АВ = ВС = 4. Медиана AM равна 3.

а) Докажите, что угол AMВ тупой.
б) Найдите отрезок AC [16п7]

sova

2020-03-30 13:23:40

★

АМ - [i]медиана[/i] Δ АВС, значит BM=MC=2

Достраиваем треугольник до параллелограмма ABDС.
Откладываем отрезок MD=AM=3
AD=6

Диагонали ВС и AD в точке пересечения делятся пополам, значит четырехугольник ABDС - параллелограмм.

Пусть АС=x

По свойству диагоналей параллелограмма:

[r]d^2_(1)+d^2_(2)=2a^2+2b^2[/r]

6^2+4^2=2*(4^2+x^2)

2x^2=20

x^2=10

x=sqrt(10)

[b]АС=sqrt(10)[/b]


По теореме косинусов из треугольника АМВ:
AB^2=AM^2+BM^2-2AM*BM*cos ∠ AMB

[m]cos\angle AMB=\frac{AM^2+BM^2-AB^2}{2AM\cdot BM}=\frac{3^2+2^2-4^2}{2\cdot 3\cdot 2}=\frac{-3}{12}=-\frac{1}{4}< 0[/m]

∠ AMB - [b]тупой[/b]