Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 52944 В остроугольном треугольнике АВС...

Условие

В остроугольном треугольнике АВС проведены высота СС1, и медиана AA1, причём точки А, С, A1 и С1, лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника АВС, если АА1 :СС1, =3:2 и А1С1 = 2.

математика 10-11 класс 9632

Решение

а)
CC_(1) ⊥ AB ⇒ ∠ AC_(1)C=90 °

∠ AA_(1)C= ∠ AC_(1)C=90 ° как углы опирающиеся на одну и ту же дугу АС

AA_(1) ⊥ BC
Медиана AA_(1) одновременно и высота, значит Δ АВС - равнобедренный
АВ=АС

б) АВ=АС
[b]A_(1)C_(1)=2[/b]

[m]\angle C_{1}AA_{1}=\angle A_{1}CC_{1}[/m] как углы,

опирающиеся на одну и ту же дугу A_(1)C_(1)

Δ АА_(1)В= Δ АА_(1)С ⇒ ∠ АА_(1)В= ∠ АА_(1)С ⇒ ∪ А_(1)С= ∪ А_(1)С_(1)=2

A_(1)C=2

BC=4


Пусть АА_(1)=3х; СС_(1)=2х

Из Δ ВС_(1)С:

[m] sin \angle B=\frac{CC_{1}}{BC}=\frac{x}{2}[/m]

[m] sin \angle C= sin \angle B=\frac{x}{2}[/m]

Из Δ AС_(1)С:

[m] sin \angle C=\frac{CC_{1}}{AC}=\frac{3x}{AC}[/m] ⇒

[m]\frac{x}{2}=\frac{3x}{AC}[/m] ⇒ АС=6; BC=6

Из Δ АА_(1)С:

[m]AA_(1)=\sqrt{AC^2-CA^2_{1}}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}[/m]

S_( Δ ABC)=[m]\frac{1}{2}BC\cdot AA_{1}=2\cdot 4\sqrt{2}=8\sqrt{2}[/m]

О т в е т. [m]8\sqrt{2}[/m]

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК