Задача 27881 Найти решение задачи Коши xy'ln(y/x) =...

Frol

23 мая 2018 г.

Найти решение задачи Коши

xy'ln(y/x) = x + yln(y/x), y(1) = 1

SOVA

23 мая 2018 г.

★

y`ln(y/x)=1+(y/x)·ln(y/x)

u=y/x
y=ux
y`=u`·x+u ( x`=1, х – независимая переменная)

(u`·x+u)·lnu=1+u·lnu;

u`·x·lnu=1
lnudu=dx/x
Интегрируем
∫ lnudu= ∫ dx/x
Интеграл слева считаем по частям
u·lnu–u=ln|x|+lnC
(y/x)·ln(y/x)=lnCx– общее решение
при х=1
у=1
lnC=0
C=1
(y/x)·ln(y/x)=lnx– частное решение