Задача 27881 Найти решение задачи Коши xy'ln(y/x) =...

Frol

23.05.2018

Найти решение задачи Коши

xy'ln(y/x) = x + yln(y/x), y(1) = 1

SOVA

23.05.2018

★

y`ln(y/x)=1+(y/x)*ln(y/x)

u=y/x
y=ux
y`=u`*x+u ( x`=1, х - независимая переменная)

(u`*x+u)*lnu=1+u*lnu;

u`*x*lnu=1
lnudu=dx/x
Интегрируем
∫ lnudu= ∫ dx/x
Интеграл слева считаем по частям
u*lnu-u=ln|x|+lnC
(y/x)*ln(y/x)=lnCx- общее решение
при х=1
у=1
lnC=0
C=1
(y/x)*ln(y/x)=lnx- частное решение