Задача 23366 x^2 - |x^2 + 2x - 3| = a Найти все...

u9522162169

2 мая 2018 г. в 00:00

x² – |x² + 2x – 3| = a

Найти все значения a, при которых уравнение имеет более 2 корней

SOVA

2 мая 2018 г. в 00:00

★

1) Если x²+2x–3 ≥ 0,
|x²+2x–3|=x²+2x–3

Уравнение принимает вид:
x²–x²–2x+3=a
–2x+3=a
x=(3–a)/2

x∈(–∞;–3]U[1;+∞)

(3–a)/2 ≤ –3
а ≥ 9

(3–а)/2 ≥ 1
а ≤ 1

При любых а∈(– ∞;1]U[9;+∞) уравнение имеет один корень

(см. так же рис.1 Прямая у= –2х+3 на
(– ∞;–3]U[1;+∞) пересекается с прямой у= а ровно в одной точке.


2) Если x²+2x–3 < 0, т.е x ∈(–3;1)
|x²+2x–3|=–x²–2x+3

Уравнение принимает вид
x²+x²+2x–3=a
2x²+2x–(3+a) =0

Найдем при каких значениях а уравнение имеет 2 корня.
Как известно, квадратное уравнение имеет два корня, если дискриминант квадратного уравнения положителен.

D=2²–4·2·(–(3+a))=28+8a
8a > –28
a > –3,5

x1=(–2–√28+8a)/2=–1–√7+2a или х2=–1+√7+2a

Причем оба корня должны быть в промежутке от (–3;1)

{–3 < –1–√7+2a < 1
{–3 < –1+√7+2a < 1



О т в е т. (–3,5;1]U[9;+ ∞)