ЗАДАЧА 12781 Известно, что если сумма каких-то трех

УСЛОВИЕ:

Известно, что если сумма каких-то трех натуральных чисел делится на n, то и сумма одиннадцатых степеней этих же чисел делится на n. Найдите наибольшее возможное натуральное значение n.

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA:

Дано: (a+b+c):n
Доказать (a^(11)+b^(11)+c^(11)):n

Доказательство.
Рассмотрим их разность
(a^(11)+b^(11)+c^(11))-(a+b+c)=
=(a^(11)-a)+(b^(11)-b)+(c^(11)-c)

Достаточно показать, что
a^(11)-a кратно n
a^(11)-a=a(a^(10)-1)=a*(a^5-1)*(a^5+1)=
=a*(a-1)*(a+1)*(a^4-a^3+a^2-a+1)*(a^4+a^3+a^2+a+1)

Cумма трех последовательных множителей (а-1)*а*(а+1)
кратна 6.
Одно четное и одно кратно 3.

Кроме того, можно показать, что это произведение кратно 11 ( см. малую теорему Ферма. a^p-a кратно p при любом целом а и простом p)
Значит, a^(11)-a кратно 6*11=66
может и больше, чем 66 проверяйте, на что делятся множители
(a^4-a^3+a^2-a+1)*(a^4+a^3+a^2+a+1)

О т в е т. n=66
ЕСТЬ ВОПРОСЫ?
НАШЛИ ОШИБКУ?
отправить + регистрация в один клик
опубликовать + регистрация в один клик

Нужна помощь?

Опубликовать

Добавил elvira_gaysina@ , просмотры: ☺ 186 ⌚ 09.01.2017. математика 10-11 класс
КОД ВСТАВКИ

РЕШЕНИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕЙ
Написать своё решение

Только зарегистрированные пользователи могут писать свои решения.
Лучший ответ к заданию выводится как основной

НАПИСАТЬ КОММЕНТАРИЙ

Мы ВКонтакте
Последние решения

slava191 ✎ 1) вероятность того, что он прослужит меньше двух лет 1 – 0,84 = 0,16 2) вероятность того, что он прослужит больше года, дана в условии 0,98 3) значит вероятность того, что он сломается за первый год равна 1 – 0,98 = 0,02 4) вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года 0,16 – 0,02 = 0,14 к задаче 10432

SOVA ✎ Подобие двух конусов: большого и наполненного жидкостью. R:r=H:h h=H/2 Значит R=2r V(жидкости)=(1/3)*Pi *r^2*h По условию V(жидкости)=60 (1/3)*Pi *r^2*h=60 ⇒ Pi *r^2*h=180 V( большого конуса)=(1/3)*Pi *R^2*H= =(1/3)*Pi *(2r)^2*2h=(8/3)* Pi *r^2*h= =(8/3)*180=480 V ( добавки)=480 - 60 =420 О т в е т. Надо долить 420 мл жидкости к задаче 17035

vk373384374 ✎ 3) верно А и Б. к задаче 17023

SOVA ✎ Наибольшее трехзначное в записи которого нет девяток 888. 888 не кратно 9. О т в е т. 882 к задаче 17033

SOVA ✎ р=11/55=1/5 55-22-22=11 учаcтников из Парагвая. к задаче 17032