Доказать (a^(11)+b^(11)+c^(11)):n
Доказательство.
Рассмотрим их разность
(a^(11)+b^(11)+c^(11))-(a+b+c)=
=(a^(11)-a)+(b^(11)-b)+(c^(11)-c)
Достаточно показать, что
a^(11)-a кратно n
a^(11)-a=a(a^(10)-1)=a*(a^5-1)*(a^5+1)=
=a*(a-1)*(a+1)*(a^4-a^3+a^2-a+1)*(a^4+a^3+a^2+a+1)
Cумма трех последовательных множителей (а-1)*а*(а+1)
кратна 6.
Одно четное и одно кратно 3.
Кроме того, можно показать, что это произведение кратно 11 ( см. малую теорему Ферма. a^p-a кратно p при любом целом а и простом p)
Значит, a^(11)-a кратно 6*11=66
может и больше, чем 66 проверяйте, на что делятся множители
(a^4-a^3+a^2-a+1)*(a^4+a^3+a^2+a+1)
О т в е т. n=66