Задача 10467 В прямоугольном параллелепипеде...

slava191

10 октября 2016 г. в 00:00

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка М лежит на ребре DD1 так, что DM:D1M=1:2. Плоскость, проходящая через точки А и М параллельно BD1, пересекает ребро CD в точке Р.

а) Докажите, что CP=DP.

б) Найдите расстояние от точки D1 до плоскости АМР, если известно, что АВ=12, ВС=9, АА1=36.

SOVA

10 октября 2016 г. в 00:00

★

По теореме Пифагора BD²=AB²+AD²=12²+9²=144+81=225.
BD=15.
Чтобы построить сечение в плоскости ВВ₁D₁D проводим МК || BD₁.
Δ BDD₁ подобен Δ КМD.
DM:DD₁=DK:DB ⇒ 12:36=DK:15 ⇒ DK=5

Проводим КТ⊥AD ( cм. ниже чертеж основания АВСD)
Δ КТD подобен Δ BАD.
КТ:ВА=DK:DB ⇒ KT: 12 = 5:15 ⇒ KT=4
По теореме Пифагора из треугольника КТD:
TD=3
Значит, АТ=9–3=6

Δ АКТ подобен Δ АРD.
КТ:PD=АТ:АD ⇒ 4:PD = 6:9 ⇒ PD=6
CD=12–6=6
PD=CD.

Введем систему координат так, чтобы точка А совпала с началом координат, ось ох с ребром AD, ось оу с ребром AB, ось оz c ребром АА₁.
См. рисунок справа. Напишем уравнение плоскости, проходящей через начало координат А в виде
ax+by+cz=0
Подставим координаты точек M(9;0;12) и P(9;6;0)
9a+12c=0 ⇒ c=(–3/4)a
9a+6b=0 ⇒ b=(–3/2)a
ax+(–3/2)ay+(–3/4a)z=0
или
4х–6у–3z=0 – Уравнение плоскости АМР.
По формуле
d=|4x_D1–6y_D1–3z_D1|/√4²+(–6)²+(–3)²=
=|4•9–6•0–3•36|/√61=72/√61