Задача 31700 Сторона основания ABC правильной...

liza118

2018-12-08 22:49:17

Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна 8sqrt(3), высота пирамиды DO = 6. Точки А1, С1, - середины рёбер AD и CD соответственно. Найдите расстояние между прямыми ВА1 и АС1.

sova

2018-12-09 00:32:00

★

Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания а и высотой h

Введем систему координат так как показано на рисунке

При
а=8sqrt(3)
h=6

A(0;0;0); B(0;8sqrt(3);0); C(12;4sqrt(3);0); D(4;4sqrt(3);6)
A_(1)- середина AD
A_(1)(2;2sqrt(3);3)
C_(1)- середина CD
C_(1)(8;4sqrt(3);3)
A_(2)- середина C_(1)D
A_(2)(6;4sqrt(3);4,5)


Через точку A_(1) проводим А_(1)А_(2) || AC_(1)

Плоскость А_(1)ВА_(2) || AC_(1) и проходит через BA_(1).
Значит расстояние между прямыми АС_(1) и ВА_(1) равно расстоянию от любой точки прямой АС_(1) до плоскости А_(1)ВА_(2)

Составляем уравнение плоскости А_(1)ВА_(2) как плоскости, проходящей через три точки
B(0;8sqrt(3);0)
A_(1)(2;2sqrt(3);3)
A_(2)(6;4sqrt(3);4,5)

Выбираем произвольную точку M (x;y;z)
Векторы vector{A_(1)M}=(x - 2; y-2sqrt(3);z); vector{A_(1)B}=( - 2; 6sqrt(3);-3); vector{A_(1)A_(2)}=(4; 4sqrt(3);9/2) компланарны.
Составляем определитель третьего порядка из координат данных векторов и приравниваем к 0 ( см. приложение 2)
Уравнение плоскости
15sqrt(x-2)-9*(y-2sqrt(3)-28*(x-3)=0
или
15x-3sqrt(3)y-28z+72=0


Расстояние от точки А (0;0;0) до плоскости А_(1)ВА_(2)
d= |15*0-3sqrt(3)*0-28*0+72|/sqrt(15^2+(-3sqrt(3)^3)+(-28)^2)=36/sqrt(259)