Задача 9523 Решить неравенство...

slava191

24.06.2016

Решить неравенство log(1+1/(x-3)^2)(1+4/(x-2)^2) меньше или равно 1

SOVA

24.06.2016

★

Так как 1=log₁₊₁/₍ₓ₋₃₎²(1+1/(x–3)²) и основание логарифмической функции 1+1/(x–3)²>1 при х≠3,
в силу того, что 1/(x–3)²>0,
значит логарифмическая функция возрастает и большему значению функции соответствует большее значение аргумента.
1+4/(x–2)²≤1+1/(x–3)²; при этом х≠2 и х≠3.
4/(x–2)²≤1/(x–3)²;
4/(x–2)²-1/(x–3)²≤0;
(4(х-3)²-(х-2)²)/(x–2)²(x–3)²≤ 0
Знаменатель положителен при х≠2 и х≠3, значит
(4(х-3)²-(х-2)²)≤ 0;
(2(х-3)-(х-2))(2(х-3)+(х-2))≤ 0;
(2х-6-х+2)(2х-6+х-2)≤ 0;
(х-4)(3х-8)≤ 0;
О т в е т. (2 целых 2/3;3)U(3;4)