Задача 47805 ...

igorevna5

21 апреля 2020 г. в 14:07

2 · 3^{2x + 1} – 7 · 6^x + 2 · 4^x
–––––––––––––––––––– ≤ 1
3 · 9^x – 3^x · 2^{x + 1}

sova

21 апреля 2020 г. в 14:18

[m]\frac{2\cdot3^{2x+1}-7\cdot 6^{x}+2\cdot4^{x}}{3\cdot 9^{x}-3^{x}\cdot 2^{x+1}}\leq 1[/m]

[m]3^{2x+1}=3^{2x}\cdot 3=3\cdot (3^{x})^2[/m]

[m]6^{x}=(2\cdot 3)^{x}=2^{x}\cdot 3^{x}[/m]

[m]3^{x}\cdot 2^{x+1}=3^{x}\cdot 2^{x}\cdot 2[/m]

Переносим 1 влево
[m]\frac{6\cdot (3^{x})^2-7\cdot 2^{x}\cdot 3^{x}+2\cdot4^{x}}{3\cdot (3^{x})^2-2\cdot 3^{x}\cdot 2^{x}}-1\leq 0[/m]

и приводим к общему знаменателю

[m]\frac{6\cdot (3^{x})^2-7\cdot 2^{x}\cdot 3^{x}+2\cdot4^{x}-3\cdot (3^{x})^2+2\cdot 3^{x}\cdot 2^{x}}{3\cdot (3^{x})^2-2\cdot 3^{x}\cdot 2^{x}}\leq 0[/m]

Приводим подобные слагаемые в числителе.

Получаем неравенство:

[m]\frac{3\cdot(3^{x})^2-5\cdot6^{x}+2\cdot (2^{x})^2}{3\cdot (3^{x})^2-2\cdot 3^{x}\cdot 2^{x}}\leq 0[/m]

Раскладываем на множители числитель и знаменатель:

[m]\frac{3\cdot 9^{x}-3\cdot 3^{x}\cdot 2^{x}-2\cdot 3^{x}\cdot 2^{x}+2\cdot (2^{x})^2}{3^{x} \cdot(3\cdot 3^{x}-2\cdot 2^{x})}\leq 0[/m]

[m]\frac{3\cdot 3^{x}\cdot (3^{x}-cdot 2^{x})-2\cdot 2^{x} \cdot (3^{x}- 2^{x})}{3^{x} \cdot(3\cdot 3^{x}-2\cdot 2^{x})}\leq 0[/m]


[m]\frac{(3^{x}-2^{x})(3\cdot 3^{x}-2\cdot 2^{x})}{3^{x}(3\cdot3^{x}-2\cdot2^{x})}\leq 0[/m]


Применяем обобщенный метод интервалов:

находим нули числителя:

(3^x–2^x)·(3·3^x–2·2^x)=0 ⇒
3^x–2^x=0 или 3·3^x–2·2^x=0
3^x=2^x ⇒ x=1 или 3·3^x=2·2^x ⇒ x=–1

Находим нули знаменателя:

3^x > 0 при любом х
3·3^x–2·2^x=0
3·3^x=2·2^x
3^x+1=2^x+1 ⇒ x=–1

__–__ (–1) __–___ [1] __+__

О т в е т. (– ∞ ;–1) U(–1;1]