Задача 32203 ...

ksmirnov80

2018-12-20 17:17:17

1) lim_(x → 2)(x-2)ctxPix = 0

2) lim_(x → ∞) ((x^2+2)/(x^2-2))^x

sova

2018-12-20 22:38:13

1) Неопределенность (0* ∞ )

Запишем произведение (х-2)*сtgπx в виде дроби:

ctgπx/(1/(x-2))

lim_(x→2)ctgπx/(1/(x-2))= ∞ / ∞ = Применяем правило Лопиталя:

=lim_(x→2)(ctgπx)`[b]/[/b](1/(x-2))`=

=lim_(x→2)(- (πx)`/(sin^2πx)) [b] /[/b] (-1/(x-2)^2)=

=lim_(x→2) (π)(x-2)^2[b] /[/b](sin^2πx)=(0/0) Правило Лопиталя=

=(π)lim_(x→2) 2(x-2)[b] /[/b]2(sinπx)*(cosπx)*π=

=2*lim_(x→2) (x-2)[b] /[/b](sin2πx)=(0/0) Правило Лопиталя=

=2*lim_(x→2) 1[b] /[/b](cos2πx)*(2π)=(1/π)


2.

Делим и числитель и знаменатель дроби

(x^2+2)/(x^2-2) на x^2

(1+(2/x^2))/(1-(2/x^2))

=lim_(x→ ∞)(1+(2/x^2))^x^2[b]/[/b](1-(2/x^2))^(x^2)=

=e^(2)/e^(-2)=e^(4)


lim_(x→ ∞)(1+(2/x^2))^x^2=lim_(x→ ∞)((1+(2/x^2))^(x^2/2))^2=e^2

lim_(x→ ∞)(1-(2/x^2))^x^2=lim_(x→ ∞)((1-(2/x^2))^(-x^2/2))^(-2)=e^(-2)