Задача 38802 Решить...

vk288952222

2019-08-18 20:08:26

Решить неравенство

[m]\frac{2\log_5(x^2-5x)}{\log_5x^2} \leq 1[/m]

sova

2019-08-18 21:09:50

ОДЗ:
{x^2-5x>0 ⇒ x(x-5) ≥ 0 ⇒ x ≤ 0 или х ≥ 5
{x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{log_(5)x^2 ≠ 0 ⇒ x^2 ≠ 5^(0); x ≠ ± 1

x ∈ (- ∞ ;-1)U(-1;0)U[5;+ ∞ )

Переносим 1 влево:
(2log_(5((x^2-5x)/log_(5)x^2) - 1 ≤ 0

Приводим к общему знаменателю:
(2log_(5)(x^2-5x)-log_(5)x^2)/log_(5)x^2 ≤ 0

Применяем свойства логарифма степени и логарифма частного:
(log_(5)(x^2-5x)^2/x^2)/log_(5)x^2 ≤ 0

Решаем неравенство методом интервалов.

Нули числителя:

log_(5)((x^2-5x)/x)^2=0

((x^2-5x)/x)^2=5^(0)

(x^2-5x)/x= ± 1 ⇒ x=0;x=4;x=6

Нули знаменателя:
х= ± 1

Расставляем знаки на ОДЗ:

_____+____ (-1) _-_ (0) \\\\(1)\\\\\\\ [4]\\\\ [5] _-_ [6] __+___

О т в е т. (- ∞ ;-1)U[5;6]