Задача 38802 Решить...

vk288952222

18 августа 2019 г. в 20:08

Решить неравенство

[m]\frac{2\log_5(x^2-5x)}{\log_5x^2} \leq 1[/m]

sova

18 августа 2019 г. в 21:09

ОДЗ:
{x²–5x>0 ⇒ x(x–5) ≥ 0 ⇒ x ≤ 0 или х ≥ 5
{x²>0 ⇒ x ≠ 0
{log₅x² ≠ 0 ⇒ x² ≠ 5⁰; x ≠ ± 1

x ∈ (– ∞ ;–1)U(–1;0)U[5;+ ∞ )

Переносим 1 влево:
(2log_(5((x²–5x)/log₅x²) – 1 ≤ 0

Приводим к общему знаменателю:
(2log₅(x²–5x)–log₅x²)/log₅x² ≤ 0

Применяем свойства логарифма степени и логарифма частного:
(log₅(x²–5x)²/x²)/log₅x² ≤ 0

Решаем неравенство методом интервалов.

Нули числителя:

log₅((x²–5x)/x)²=0

((x²–5x)/x)²=5⁰

(x²–5x)/x= ± 1 ⇒ x=0;x=4;x=6

Нули знаменателя:
х= ± 1

Расставляем знаки на ОДЗ:

_____+____ (–1) _–_ (0) \\\\(1)\\\\\\\ [4]\\\\ [5] _–_ [6] __+___

О т в е т. (– ∞ ;–1)U[5;6]