Задача 23499 ...

u5129201141

08.02.2018

Высота CH треугольника ABC равна 8, где основание высоты H лежит на отрезке AB. HN -высота треугольника BCH, а HM -высота треугольника ACH. Найдите длину отрезка MN, если AM = (4√3)/3, BN=12

SOVA

08.02.2018

★

Из прямоугольного треугольника СНN
СН^2=HN^2+CN^2 ( # )

Из подобия ( по общему острому углу СВН) прямоугольных треугольников СНN и HNB
СN:HN=HN:BN
CN=HN^2/BN=HN^2/12 подставляем в (#)

8^2= (HN^2/12)^2+HN^2
Получаем биквадратное уравнение относительно HN.
(HN)^4+144HN^2-64*144=0
D=144^2+4*64*144=144*(144+256)=144*400=
=(12*20)^2=240^2
HN^2=(-144+240)/2 или HN^2=(144-240)/2 < 0
HN^2=48
HN=4sqrt(3)
CN=4

Значит ∠ NСН=60^(o) , так как tg∠ NСН=HN/CN=
=4sqrt(3)/4=sqrt(3)



Аналогично
Из подобия СМН и АМН
МН:СМ=АМ:МН
СМ=МН^2/(4sqrt(3)/3)

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
СМН
СН^2=CM^2+MH^2
8^2=(MH^2/(4sqrt(3)/3))^2+MH^2
Биквадратное уравнение относительно MH^2
3MH^4+16MH^2-64*16=0
D=16^2+4*3*64*16=16*(16+12*64)=16*784=(4*28)^2=112^2
MH^2=16
MH=4
CM=4 sqrt(3)

Значит ∠ МСН=30^(o) , так как tg∠ МСН=MH/MC=
=4/4sqrt(3)=1/sqrt(3)

Значит ∠ АСВ= ∠ ACH+ ∠ BCH=∠ MCH+ ∠ NCH=30^(o)+60^(o)=90^(o)

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
СMN можно найти MN.

Или так:

MCNH - четырехугольник, у которого три угла прямые.
Значит MCNH - прямоугольник

MN=СН=8 - диагонали прямоугольника MCNH равны.



О т в е т. 8