Задача 49671 Вычислить несобственный интеграл или...

luci616

8 мая 2020 г. в 18:20

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

sova

8 мая 2020 г. в 21:05

Две особые точки: х=–1; х=1

Разбиваем интеграл на сумму четырех интегралов

∫ ^–1_–2[m]\frac{dx}{x^2-1}[/m]+ ∫ ⁰_–1[m]\frac{dx}{x^2-1}[/m]+ ∫ ¹₀[m]\frac{dx}{x^2-1}[/m]+ ∫ ²₁[m]\frac{dx}{x^2-1}[/m]

Все три –несобственные интегралы 2 рода

lim _{a → –1–0} ∫ ^a_–2[m]\frac{dx}{x^2-1}[/m]+lim _{b → –1+0}∫ ⁰_b[m]\frac{dx}{x^2-1}[/m]+

+lim _{c → 1–0} ∫ ^c₀[m]\frac{dx}{x^2-1}[/m]+lim _{d → 1+0}∫ ²_d[m]\frac{dx}{x^2-1}[/m]=

(табличный интеграл [m]\int \frac{dx}{x^2-1}=ln|\frac{x-1}{x+1}|[/m])


=lim _{a → –1–0}[m] ln|\frac{a-1}{a+1}|-ln|\frac{-2-1}{-2+1}|[/m]+

+[m]ln|\frac{0-1}{0+1}|[/m]–lim _{b → –1+0}[m] ln|\frac{b-1}{b+1}|[/m]+

+lim _{c → 1–0}[m] ln|\frac{c-1}{c+1}|-ln|\frac{0-1}{0+1}|[/m]+

+[m]ln|\frac{2-1}{2+1}|[/m]–lim _{d → 1+0}[m] ln|\frac{d-1}{d+1}|=[/m]



=lim _{a → –1–0}[m] ln|\frac{a-1}{a+1}|-ln3[/m]+

+[m]ln1[/m]–lim _{b → –1+0}[m] ln|\frac{b-1}{b+1}|[/m]+

+lim _{c → 1–0}[m] ln|\frac{c-1}{c+1}|-ln1[/m]+

+[m]ln\frac{1}{3}[/m]–lim _{d → 1+0}[m] ln|\frac{d-1}{d+1}|=[/m]