Задача 36585 ...

noname13

29 апреля 2019 г. в 18:36

Вычислить тройной интеграл

V: y = 3x, y = 0, x = 2, z = xy, z = 0.
∭_V x²z dx dy dz;

sova

29 апреля 2019 г. в 19:56

Ясно, что тело ограничено снизу z=0, сверху z=xy

Это нижний и верхний пределы внутреннего интеграла ( третьего по счету) по переменной z

Область D на плоскости xOy ограничена
y=3x сверху; y=0 снизу

Они пересекаются в точке х=0

Поэтому пределы внешнего интеграла по х: от 0 до 2

= ∫² _(0dx ∫ ^3x₀dy ∫ ^xy₀x³zdz=

=∫² _(0dx ∫ ^3x₀ (x³·z²/2)|^z=xy_z=0dy=

=∫² _(0dx ∫ ^3x₀ (x³·(xy)²/2)dy=

=∫² ₀(x⁵/2)dx ∫ ^3x₀ y²dy=

=∫² ₀(x⁵/2) (y³/3)| ^3x₀dx=

=∫² ₀(x⁵/2) ((3x)³/3)dx=

=(9/2)∫² ₀x⁸dx=

=(9/2)·(x⁹/9)|²₀=(1/2)·2⁹=2⁸=256