Задача 28899 6. Дан прямоугольник ABCD со сторонами...

slava191

11.07.2018

6. Дан прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 9 см и AD = 8 см. Окружность касается сторон АВ и AD прямоугольника ABCD, проходит через вершину С и пересекает сторону DC в точке N. Найдите площадь трапеции ABND.

SOVA

11.07.2018

★

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
ОM ⊥ AB; OK ⊥ AD ⇒
AMOK - квадрат.
АМ=АК=r ⇒ BM=AB-AM=9-r; KD=AD-AK=8-r;

Треугольник СON - равнобедренный ( OC=ON=r)
OF- медиана, биссектриса и высота.
OF ⊥ CD
АВ || СD ⇒ OM ⊥ AB и OF ⊥ CD ⇒ три точки M, O и F лежат на одной прямой, на диаметре MP
СN=2BM=2*(9-r)=18-2r
DN=CD-CN=9-(18-2r)=2r-9
Применяем свойство касательной и секущей:
[b]произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.[/b]
DC* DN=DK^2

9*(2r-9)=(8-r)^2;
18r-81=64-16r+r^2;

r^2-34r+145=0
D=34^2-4*145=1156-580=576
r_(1)=(34-24)/2=5 или r_(2)=(34+24)/2=29 ( не удовл. смыслу задачи.)

ND=2r - 9 =2*5-9=1

S ( трапеции ABND)=(AB+ND)*AD/2=(9+1)*8/2=40

О т в е т. 40 кв см.