Задача 42551 Вычислите двойной интеграл по области D,...

vk81772766

2019-12-12 13:00:39

Вычислите двойной интеграл по области D, ограниченной
указанными линиями.

sova

2019-12-12 17:37:22

★

Область D: 0 ≤ x ≤ 2; x^2 ≤ y ≤ 2x

∫ ∫ _(D)xy^2dxdy= ∫ ^(2)_(0) ([blue]∫ ^(2x)_(x^2)xy^2dy[/blue])dx[red]=[/red]

Считаем внутренний интеграл:
[blue]∫ ^(2x)_(x^2)xy^2dy[/blue]=x*∫ ^(2x)_(x^2)y^2dy=

=x*(y^3/3)|^(2x)_(x^2)=x*((8x^3/3)-(x^6/3))=(8x^4/3)-(x^7/3)

[red]=[/red] ∫ ^(2)_(0) ((8x^4/3)-(x^7/3))dx=

=((8/15)x^5-(1/24)x^8)|^(2)_(0)=(8/15)*2^5 - (1/24)*2^(8)=

=(256/15)-(256/24)=256*((1/15)-(1/24))=256/40=[b]6,4[/b]