2log_(x)3+ 3log_(3x)3 ≤ 2
{x>0
{x ≠ 1
{3x>0 ⇒ x>0
{3x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/3
х ∈ (0;1/3)U(1/3;1)U(1;+ ∞ )
Применяем формулу перехода к другому основанию ( см. приложение):
[m]\frac{2}{log_{3}x}+\frac{3}{log_{3}3x} ≤ 2[/m]
так как [m]log_{3}3x=log_{3}3+log_{3}x=1+log_{3}x[/m], то
[m]\frac{2}{log_{3}x}+\frac{3}{1+log_{3}x} ≤ 2[/m]
[i]Замена переменной[/i]:
[m]log_{3}x=t[/m]
[m]\frac{2}{t}+\frac{3}{1+t} ≤ 2[/m]
[m]\frac{2}{t}+\frac{3}{1+t}-2 ≤ 0[/m]
[m]\frac{2(1+t)+3t-2t(1+t)}{t(1+t)} ≤ 0[/m]
[m]\frac{2+3t-2t^2}{t(1+t)} ≤ 0[/m]
[m]\frac{2t^2-3t-2}{t(1+t)} ≥ 0[/m]
Решаем неравенство методом интервалов:
2t^2-3t-2 =0
D=9+4*2*2 =25
t_(1)=-1/2; t_(2)=2
__+___ (-1) __-__ [-1/2] __+__ (0) ___-____ [2] __+__
[m]log_{3}x<-1[/m] или [m]-\frac{1}{2} < log_{3}x<0[/m] или [m]log_{3}x>2[/m] ⇒
[m]log_{3}x<-1\cdot log_{3}3[/m] или [m]-\frac{1}{2}\cdot log_{3}3 < log_{3}x<log_{3}1[/m] или [m]log_{3}x>2log_{3}3[/m] ⇒
[m]log_{3}x< log_{3}3^{-1}[/m] или [m] log_{3}3^{-\frac {1}{2}} < log_{3}x<log_{3}1[/m] или [m]log_{3}x>log_{3}3^2[/m] ⇒
x<1/3 или 1/sqrt(3) < x < 1 или x >9
С учетом ОДЗ
О Т В Е Т. (0; 1/3) U(1/sqrt(3);1)U(9;+ ∞ )