Задача 21820 Провести исследование и построить график...
Условие
Решение
lim(x→2–0)f=–∞
lim(x→2+0)f=– ∞
х=2 – точка разрыва второго рода
х=2 – вертикальная асимптота.
2 Функция не является ни четной, ни нечетной.
у(–х)=2·((–х)–3/(x–2)2=2–2(x+3)/(x–2)2
y(–x)≠y(x)
y(–x)≠–y(x)
3)limx→ +∞f(x)=+0
limx→–∞f(x)=–0.
у=0 – горизонтальная асимптота.
Причем на + бесконечности график расположен выше асимптоты.
на – бесконечности – ниже асимптоты.
4)
Наклонная асимптота
k=limx→+∞f(x)/x=0
Наклонной асимптоты нет.
5) Точки пересечения с осью Ох
f(x)=0
x–3=0
x=3
Точки пересечения с осью Оу
х=0
у=2·(–3)/(–2)2=–1,5
6)y`=(2x–6)`·(x–2)2–((x–2)2)`·(2x–6))/(x–2)4;
y`=(8–2x)/(x–2)3;
y`=0
x=4 – точка максимума, производная меняет знак с + на–
Знак производной:
___–____ (2) __+__ (4 ) __–__
f(x) убывает на (–∞;2) и на (4;+∞)
f(x) возрастает на (2;4)
у(4)=2·(4–3))/(4–2)2=1/2
7)y``=((8–2x)/(x–2)3)`=(8–2x)`·(x–2)3–((x–2)3·(8–2x))/(x–2)6
y``=(4x–16)/(x–2)4
y``=0
x=4 – точка перегиба
Функция выпукла вниз на (4;+ ∞)
вверх на (–∞; 0) и на (0;4)
