Задача 12811 Дан треугольник ABС. На луче BAза...

Lojechkin

10.01.2017

Дан треугольник ABС. На луче BAза точкой AA взяли точку X а на луче BC за точкой C взяли точку YY так, что XA=YC=AC. Прямые AY и CX пересекаются в точке ZZ. Из точки ZZ опустили перпендикуляр ZH на AC. Известно, что AB=5, CB=4, AH=2. Найдите CH.

SOVA

10.01.2017

★

Пусть ХА=УС=АС=а.
Δ ХАС – равнобедренный, ∠АХС=∠АСХ.
Обозначим ∠АХС=∠АСХ=α.
Δ АСУ – равнобедренный, ∠САУ=∠СУА.
Обозначим∠САУ=∠СУА=β.(см. рис. 1)

Так как внешний угол треугольника равен сумме внутренних с ним не смежных, в треугольнике АВС: ∠ВАС=2α, ∠ВСА=2β.
Проведем биссектрисы угла А и С треугольника АВС, они пересекаются в точке Т.
АТСZ– параллелограмм. ( см. рис.2)
AT||CX и СT || AY ( внутренние накрест лежащие углы равны).
Диагональ АС параллелограмма АТСZ делит его на два равных треугольника: ΔАTС =Δ ACZ.
Проведем TK ⊥ AC
СК=АН=2

Кроме того, так как T – центр вписанной в треугольник АВС окружности, то отрезки касательных проведенных из одной точки равны.( см. рис. 3)
Значит отрезки касательных, проведенных из точки В равны BC–2=4–2=2
Отрезки касательных проведенных от точки А тоже равны.
5-2=3
Значит АК=3
АС=АК+КС=3+2=5
СН=5–2=3
О т в е т. 3