Задача 47029 ...

vk193649148

14 апреля 2020 г. в 10:44

исследовать сходимость несобственного интеграла

9.2.60.
∫₀¹ (dx / ³√(1 – x⁴))

sova

14 апреля 2020 г. в 12:04

[m]\int^{1}_{0}\frac{dx}{\sqrt[3]{1-x^4}} [/m]

Особая точка x=1,

По определению

[m]\int^{1}_{0}\frac{dx}{\sqrt[3]{1-x^4}} =\lim_{\varepsilon\to 0}\int^{1-\varepsilon }_{0}\frac{dx}{\sqrt[3]{1-x^4}}[/m]

[m]\int\frac{dx}{\sqrt[3]{1-x^4}}[/m] – неопределенный интеграл от иррациональной функции.

Можно сделать замену

x²=sint

x=√sint

dx=[m]\frac{(sint)`dt}{2\sqrt{sint}}[/m]

[m]\int\frac{dx}{\sqrt[3]{1-x^4}}=\int\frac{\sqrt[3]{cost}dt}{2\sqrt{sint}}[/m]


Скорее всего применение теорем.

Например, теорему сравнения:

[m]\sqrt[3]{1-x^4}=\sqrt[3]{(1-x^2)(1+x^2)}=\sqrt[3]{(1-x)(1+x)(1+x^2)}[/m]

По крайней мере степень уменьшится.

так как множитель (1+x)(1+x²) в точке x=1 не имеет особенностей


Осталось исследовать

[m]\int\frac{dx}{\sqrt[3]{1-x}}[/m]

Вот его по определению вычислить проще:

[m]\int^{1}_{0}\frac{dx}{\sqrt[3]{1-x}} =\lim_{\varepsilon\to 0}\int^{1-\varepsilon }_{0}\frac{dx}{\sqrt[3]{1-x}}=[/m]

[m]\lim_{\varepsilon\to 0}\int^{1-\varepsilon }_{0}(1-x)^{-\frac{1}{3}}dx=[/m]

[m]=-\lim_{\varepsilon\to 0} \frac{(1-x)^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1}|^{1-\varepsilon }_{0}=\frac{3}{2}[/m]

Сходится по теореме сравнения

[m]g(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{1-x}}> \frac{1}{\sqrt[3]{1-x^4}}=f(x)[/m]