Задача 41793 ...

vk288952222

2019-11-21 19:19:26

Решите пожалуйста 4^x-2^(x+8) ≤ 257

sova

2019-11-21 19:22:22

2^(x+8)=2^(x)*2^8=256*2^8

4^x=(2^2)^(x)=(2^(2))^x=(2^(x))^2

Поэтому применяем метод
[b]замены переменной[/b] ( Вам почему-то не нравится)

2^(x)=t
[red]t>0[/red]

4^x=t^2

t^2 - 256*t ≤ 257

t^2 - 256*t - 257 ≤ 0

Квадратное уравнение t^2 - 256*t - 257 =0 имеет корень t=-1
так как
(-1):2- 256*(-1) -257=0 - верно: 257-257=0

Второй корень находим по теореме Виета
t_(1)*t_(2)=-257
t_(1)=-1
t_(2)=257

неравенство
t^2 - 256*t - 257 ≤ 0

верно при

-1 ≤ t ≤ 257

С учетом замены :
[red]t >0[/red]

получаем
0 < t ≤ 257

Обратный переход

0 < 2^(x) ≤ 257

{2^(x) ≤ 257 ⇒ x ≤ log_(2)257
{2^(x) > 0 - верно при любом х

О т в е т. (- ∞ ; log_(2)257]