Задача 41793 ...

vk288952222

21 ноября 2019 г. в 19:19

Решите пожалуйста 4^x–2^x+8 ≤ 257

sova

21 ноября 2019 г. в 19:22

2^x+8=2^x·2⁸=256·2⁸

4^x=(2²)^x=(2²)^x=(2^x)²

Поэтому применяем метод
замены переменной ( Вам почему–то не нравится)

2^x=t
t>0

4^x=t²

t² – 256·t ≤ 257

t² – 256·t – 257 ≤ 0

Квадратное уравнение t² – 256·t – 257 =0 имеет корень t=–1
так как
(–1):2– 256·(–1) –257=0 – верно: 257–257=0

Второй корень находим по теореме Виета
t₁·t₂=–257
t₁=–1
t₂=257

неравенство
t² – 256·t – 257 ≤ 0

верно при

–1 ≤ t ≤ 257

С учетом замены :
t >0

получаем
0 < t ≤ 257

Обратный переход

0 < 2^x ≤ 257

{2^x ≤ 257 ⇒ x ≤ log₂257
{2^x > 0 – верно при любом х

О т в е т. (– ∞ ; log₂257]