Задача 30511 xy'+y+xe^-x^2=0 , y(1)=1/2e Помогите...

vk228823533

2018-10-25 04:18:52

xy'+y+xe^-x^2=0 , y(1)=1/2e Помогите решить

sova

2018-10-25 14:14:45

y`+(1/x)y=-e^(-x^2)
Линейное уравнение первого порядка.
Ищем решение в виде произведения двух функций
y(x)=u(x)*v(x)
y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`+(1/x)u*v=-e^(-x^2)
u`*v+u*(v`+(1/x)*v)=-e^(-x^2)
Функцию v выбираем так, чтобы выражение в скобках было равно 0
Тогда
1) v`+(1/x)v=0 ⇒ dv/v=-dx/x ⇒ ln|v|=-ln|x| ⇒ v=1/x
2)u`*(1/x)=-e^(-x^2)
du=-xe^(-x^2)dx
u=(1/2)e^(-x^2)+C
y=u*v=(1/2)(e^(-x^2))/x + (C/x) - общее решение

у(1)=(1/2)e^(-1)+C
(1/2)e^(-1)=(1/2)e^(-1) + C ⇒ C=0
y=(1/2)(e^(-x^2))/x - частное решение