Задача 27885 Найти общий интеграл...

u7745159243

23.05.2018

Найти общий интеграл дифференциального
уравнения Бернулли:
y' - y/(x-1) = y^2 / (x-1)

SOVA

23.05.2018

★

Делим на y^2
(y`/y^2)-(1/y)*(1/(x-1))=1/(x-1)
Пусть
(1/y)=z ⇒ z`=-y`/y^2

z`-(z/(x-1))=1/(x-1)
линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Ищем решение в виде z=u*v
z`=u`*v+u*v`
u`*v+u*v` - (u*v)/(x-1)=1/(x-1)
u`*v+u*(v` - (v)/(x-1))=1/(x-1)
1) условие на v:
v` - (v)/(x-1)=0
тогда
2)u`*v+u*0=1/(x-1)

1) Уравнение с разделяющимися переменными
dv/v=dx/x-1
ln|v|=ln|x-1| ( c полагаем равной 0)
v=x-1

2)u`*(x-1)=1/(x-1)
du=dx/(x-1)^2
u=-1/(x-1) + C

z=x-1(C-(1/(x-1))
z=C(x-1) - 1

y=1/z=1/(Cx-C-1)

О т в е т. у=1/(Cx-C-1)